Selesaikan {l}{3x+y=1}{4x+4y=3}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + y = 1 } \\ { 4 x + 4 y = 3 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=\frac{1}{8}=0.125$$

$$y=\frac{5}{8}=0.625$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x+y=1,4x+4y=3$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x+y=1$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=-y+1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+1\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali -y+1.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}$$

Gantikan \frac{-y+1}{3} dengan x dalam persamaan lain, 4x+4y=3.

$$4\left(-\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}\right)+4y=3$$

Darabkan 4 kali \frac{-y+1}{3}.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{4}{3}+4y=3$$

Tambahkan -\frac{4y}{3} pada 4y.

$$\frac{8}{3}y+\frac{4}{3}=3$$

Tolak \frac{4}{3} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{8}{3}y=\frac{5}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{8}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{5}{8}$$

Gantikan \frac{5}{8} dengan y dalam x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{5}{8}+\frac{1}{3}$$

Darabkan -\frac{1}{3} dengan \frac{5}{8} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{5}{24}+\frac{1}{3}$$

Tambahkan \frac{1}{3} pada -\frac{5}{24} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{1}{8}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{1}{8},y=\frac{5}{8}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x+y=1,4x+4y=3$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\4&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&1\\4&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\4&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-4}&-\frac{1}{3\times 4-4}\\-\frac{4}{3\times 4-4}&\frac{3}{3\times 4-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{8}\\-\frac{1}{2}&\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}-\frac{1}{8}\times 3\\-\frac{1}{2}+\frac{3}{8}\times 3\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\\\frac{5}{8}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{1}{8},y=\frac{5}{8}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x+y=1,4x+4y=3$$

Untuk menjadikan 3x dan 4x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 4 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$4\times 3x+4y=4,3\times 4x+3\times 4y=3\times 3$$

Permudahkan.

$$12x+4y=4,12x+12y=9$$

Tolak 12x+12y=9 daripada 12x+4y=4 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$12x-12x+4y-12y=4-9$$

Tambahkan 12x pada -12x. Seubtan 12x dan -12x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$4y-12y=4-9$$

Tambahkan 4y pada -12y.

$$-8y=4-9$$

Tambahkan 4 pada -9.

$$-8y=-5$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -8.

$$y=\frac{5}{8}$$

Gantikan \frac{5}{8} dengan y dalam 4x+4y=3. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$4x+4\times \frac{5}{8}=3$$

Darabkan 4 kali \frac{5}{8}.

$$4x+\frac{5}{2}=3$$

Tolak \frac{5}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=\frac{1}{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=\frac{1}{8}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{1}{8},y=\frac{5}{8}$$