Selesaikan {l}{3x+y=0}{2x-5y=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + y = 0 } \\ { 2 x - 5 y = 6 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=\frac{6}{17}\approx 0.352941176$$

$$y = -\frac{18}{17} = -1\frac{1}{17} \approx -1.058823529$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x+y=0,2x-5y=6$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x+y=0$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=-y$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-1\right)y$$

Darabkan \frac{1}{3} kali -y.

$$x=-\frac{1}{3}y$$

Gantikan -\frac{y}{3} dengan x dalam persamaan lain, 2x-5y=6.

$$2\left(-\frac{1}{3}\right)y-5y=6$$

Darabkan 2 kali -\frac{y}{3}.

$$-\frac{2}{3}y-5y=6$$

Tambahkan -\frac{2y}{3} pada -5y.

$$-\frac{17}{3}y=6$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{17}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-\frac{18}{17}$$

Gantikan -\frac{18}{17} dengan y dalam x=-\frac{1}{3}y. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-\frac{18}{17}\right)$$

Darabkan -\frac{1}{3} dengan -\frac{18}{17} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{6}{17}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{6}{17},y=-\frac{18}{17}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x+y=0,2x-5y=6$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\6\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&1\\2&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\6\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\6\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\6\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3\left(-5\right)-2}&-\frac{1}{3\left(-5\right)-2}\\-\frac{2}{3\left(-5\right)-2}&\frac{3}{3\left(-5\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\6\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{17}&\frac{1}{17}\\\frac{2}{17}&-\frac{3}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\6\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}\times 6\\-\frac{3}{17}\times 6\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{17}\\-\frac{18}{17}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{6}{17},y=-\frac{18}{17}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x+y=0,2x-5y=6$$

Untuk menjadikan 3x dan 2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$2\times 3x+2y=0,3\times 2x+3\left(-5\right)y=3\times 6$$

Permudahkan.

$$6x+2y=0,6x-15y=18$$

Tolak 6x-15y=18 daripada 6x+2y=0 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$6x-6x+2y+15y=-18$$

Tambahkan 6x pada -6x. Seubtan 6x dan -6x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$2y+15y=-18$$

Tambahkan 2y pada 15y.

$$17y=-18$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 17.

$$y=-\frac{18}{17}$$

Gantikan -\frac{18}{17} dengan y dalam 2x-5y=6. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$2x-5\left(-\frac{18}{17}\right)=6$$

Darabkan -5 kali -\frac{18}{17}.

$$2x+\frac{90}{17}=6$$

Tolak \frac{90}{17} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=\frac{12}{17}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{6}{17}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{6}{17},y=-\frac{18}{17}$$