Selesaikan {l}{3x+7y=63}{2x+4y=38}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 7 y = 63 } \\ { 2 x + 4 y = 38 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=7$$

$$y=6$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x+7y=63,2x+4y=38$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x+7y=63$$

Tolak 7y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=-7y+63$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-7y+63\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali -7y+63.

$$x=-\frac{7}{3}y+21$$

Gantikan -\frac{7y}{3}+21 dengan x dalam persamaan lain, 2x+4y=38.

$$2\left(-\frac{7}{3}y+21\right)+4y=38$$

Darabkan 2 kali -\frac{7y}{3}+21.

$$-\frac{14}{3}y+42+4y=38$$

Tambahkan -\frac{14y}{3} pada 4y.

$$-\frac{2}{3}y+42=38$$

Tolak 42 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{2}{3}y=-4$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{2}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=6$$

Gantikan 6 dengan y dalam x=-\frac{7}{3}y+21. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{7}{3}\times 6+21$$

Darabkan -\frac{7}{3} kali 6.

$$x=-14+21$$

Tambahkan 21 pada -14.

$$x=7$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=7,y=6$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x+7y=63,2x+4y=38$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&7\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}63\\38\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&7\\2&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&7\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}63\\38\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}63\\38\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}63\\38\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2, \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-7\times 2}&-\frac{7}{3\times 4-7\times 2}\\-\frac{2}{3\times 4-7\times 2}&\frac{3}{3\times 4-7\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}63\\38\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&\frac{7}{2}\\1&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}63\\38\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\times 63+\frac{7}{2}\times 38\\63-\frac{3}{2}\times 38\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\6\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=7,y=6$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x+7y=63,2x+4y=38$$

Untuk menjadikan 3x dan 2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$2\times 3x+2\times 7y=2\times 63,3\times 2x+3\times 4y=3\times 38$$

Permudahkan.

$$6x+14y=126,6x+12y=114$$

Tolak 6x+12y=114 daripada 6x+14y=126 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$6x-6x+14y-12y=126-114$$

Tambahkan 6x pada -6x. Seubtan 6x dan -6x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$14y-12y=126-114$$

Tambahkan 14y pada -12y.

$$2y=126-114$$

Tambahkan 126 pada -114.

$$2y=12$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$y=6$$

Gantikan 6 dengan y dalam 2x+4y=38. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$2x+4\times 6=38$$

Darabkan 4 kali 6.

$$2x+24=38$$

Tolak 24 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=14$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=7$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=7,y=6$$