Selesaikan {l}{3x+7y=6}{x+3y=12}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 7 y = 6 } \\ { x + 3 y = 12 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-33$$

$$y=15$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x+7y=6,x+3y=12$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x+7y=6$$

Tolak 7y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=-7y+6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-7y+6\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali -7y+6.

$$x=-\frac{7}{3}y+2$$

Gantikan -\frac{7y}{3}+2 dengan x dalam persamaan lain, x+3y=12.

$$-\frac{7}{3}y+2+3y=12$$

Tambahkan -\frac{7y}{3} pada 3y.

$$\frac{2}{3}y+2=12$$

Tolak 2 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{2}{3}y=10$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{2}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=15$$

Gantikan 15 dengan y dalam x=-\frac{7}{3}y+2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{7}{3}\times 15+2$$

Darabkan -\frac{7}{3} kali 15.

$$x=-35+2$$

Tambahkan 2 pada -35.

$$x=-33$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-33,y=15$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x+7y=6,x+3y=12$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&7\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&7\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&7\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-7}&-\frac{7}{3\times 3-7}\\-\frac{1}{3\times 3-7}&\frac{3}{3\times 3-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&-\frac{7}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\times 6-\frac{7}{2}\times 12\\-\frac{1}{2}\times 6+\frac{3}{2}\times 12\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-33\\15\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-33,y=15$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x+7y=6,x+3y=12$$

Untuk menjadikan 3x dan x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$3x+7y=6,3x+3\times 3y=3\times 12$$

Permudahkan.

$$3x+7y=6,3x+9y=36$$

Tolak 3x+9y=36 daripada 3x+7y=6 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$3x-3x+7y-9y=6-36$$

Tambahkan 3x pada -3x. Seubtan 3x dan -3x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$7y-9y=6-36$$

Tambahkan 7y pada -9y.

$$-2y=6-36$$

Tambahkan 6 pada -36.

$$-2y=-30$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -2.

$$y=15$$

Gantikan 15 dengan y dalam x+3y=12. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x+3\times 15=12$$

Darabkan 3 kali 15.

$$x+45=12$$

Tolak 45 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-33$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-33,y=15$$