Selesaikan {l}{3x+7y=13}{5x-4y=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 7 y = 13 } \\ { 5 x - 4 y = 6 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=2$$

$$y=1$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x+7y=13,5x-4y=6$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x+7y=13$$

Tolak 7y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=-7y+13$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-7y+13\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali -7y+13.

$$x=-\frac{7}{3}y+\frac{13}{3}$$

Gantikan \frac{-7y+13}{3} dengan x dalam persamaan lain, 5x-4y=6.

$$5\left(-\frac{7}{3}y+\frac{13}{3}\right)-4y=6$$

Darabkan 5 kali \frac{-7y+13}{3}.

$$-\frac{35}{3}y+\frac{65}{3}-4y=6$$

Tambahkan -\frac{35y}{3} pada -4y.

$$-\frac{47}{3}y+\frac{65}{3}=6$$

Tolak \frac{65}{3} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{47}{3}y=-\frac{47}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{47}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=1$$

Gantikan 1 dengan y dalam x=-\frac{7}{3}y+\frac{13}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{-7+13}{3}$$

Tambahkan \frac{13}{3} pada -\frac{7}{3} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2,y=1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x+7y=13,5x-4y=6$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&7\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\6\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&7\\5&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&7\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\6\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\6\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\6\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3\left(-4\right)-7\times 5}&-\frac{7}{3\left(-4\right)-7\times 5}\\-\frac{5}{3\left(-4\right)-7\times 5}&\frac{3}{3\left(-4\right)-7\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\6\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{47}&\frac{7}{47}\\\frac{5}{47}&-\frac{3}{47}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\6\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{47}\times 13+\frac{7}{47}\times 6\\\frac{5}{47}\times 13-\frac{3}{47}\times 6\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=2,y=1$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x+7y=13,5x-4y=6$$

Untuk menjadikan 3x dan 5x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 5 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$5\times 3x+5\times 7y=5\times 13,3\times 5x+3\left(-4\right)y=3\times 6$$

Permudahkan.

$$15x+35y=65,15x-12y=18$$

Tolak 15x-12y=18 daripada 15x+35y=65 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$15x-15x+35y+12y=65-18$$

Tambahkan 15x pada -15x. Seubtan 15x dan -15x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$35y+12y=65-18$$

Tambahkan 35y pada 12y.

$$47y=65-18$$

Tambahkan 65 pada -18.

$$47y=47$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 47.

$$y=1$$

Gantikan 1 dengan y dalam 5x-4y=6. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$5x-4=6$$

Tambahkan 4 pada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2,y=1$$