Selesaikan {l}{3x+7y=10}{4x-19y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 7 y = 10 } \\ { 4 x - 19 y = 7 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{239}{85} = 2\frac{69}{85} \approx 2.811764706$$

$$y=\frac{19}{85}\approx 0.223529412$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x+7y=10,4x-19y=7$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x+7y=10$$

Tolak 7y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=-7y+10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-7y+10\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali -7y+10.

$$x=-\frac{7}{3}y+\frac{10}{3}$$

Gantikan \frac{-7y+10}{3} dengan x dalam persamaan lain, 4x-19y=7.

$$4\left(-\frac{7}{3}y+\frac{10}{3}\right)-19y=7$$

Darabkan 4 kali \frac{-7y+10}{3}.

$$-\frac{28}{3}y+\frac{40}{3}-19y=7$$

Tambahkan -\frac{28y}{3} pada -19y.

$$-\frac{85}{3}y+\frac{40}{3}=7$$

Tolak \frac{40}{3} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{85}{3}y=-\frac{19}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{85}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{19}{85}$$

Gantikan \frac{19}{85} dengan y dalam x=-\frac{7}{3}y+\frac{10}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{7}{3}\times \frac{19}{85}+\frac{10}{3}$$

Darabkan -\frac{7}{3} dengan \frac{19}{85} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{133}{255}+\frac{10}{3}$$

Tambahkan \frac{10}{3} pada -\frac{133}{255} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{239}{85}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{239}{85},y=\frac{19}{85}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x+7y=10,4x-19y=7$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&7\\4&-19\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&7\\4&-19\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\4&-19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&7\\4&-19\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\4&-19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\4&-19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\4&-19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{19}{3\left(-19\right)-7\times 4}&-\frac{7}{3\left(-19\right)-7\times 4}\\-\frac{4}{3\left(-19\right)-7\times 4}&\frac{3}{3\left(-19\right)-7\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{85}&\frac{7}{85}\\\frac{4}{85}&-\frac{3}{85}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{85}\times 10+\frac{7}{85}\times 7\\\frac{4}{85}\times 10-\frac{3}{85}\times 7\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{239}{85}\\\frac{19}{85}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{239}{85},y=\frac{19}{85}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x+7y=10,4x-19y=7$$

Untuk menjadikan 3x dan 4x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 4 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$4\times 3x+4\times 7y=4\times 10,3\times 4x+3\left(-19\right)y=3\times 7$$

Permudahkan.

$$12x+28y=40,12x-57y=21$$

Tolak 12x-57y=21 daripada 12x+28y=40 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$12x-12x+28y+57y=40-21$$

Tambahkan 12x pada -12x. Seubtan 12x dan -12x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$28y+57y=40-21$$

Tambahkan 28y pada 57y.

$$85y=40-21$$

Tambahkan 40 pada -21.

$$85y=19$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 85.

$$y=\frac{19}{85}$$

Gantikan \frac{19}{85} dengan y dalam 4x-19y=7. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$4x-19\times \frac{19}{85}=7$$

Darabkan -19 kali \frac{19}{85}.

$$4x-\frac{361}{85}=7$$

Tambahkan \frac{361}{85} pada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=\frac{956}{85}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=\frac{239}{85}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{239}{85},y=\frac{19}{85}$$