Selesaikan {l}{3x+6y=1}{x+y=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 6 y = 1 } \\ { x + y = 0 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

$$y=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x+6y=1,x+y=0$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x+6y=1$$

Tolak 6y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=-6y+1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-6y+1\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali -6y+1.

$$x=-2y+\frac{1}{3}$$

Gantikan -2y+\frac{1}{3} dengan x dalam persamaan lain, x+y=0.

$$-2y+\frac{1}{3}+y=0$$

Tambahkan -2y pada y.

$$-y+\frac{1}{3}=0$$

Tolak \frac{1}{3} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-y=-\frac{1}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$y=\frac{1}{3}$$

Gantikan \frac{1}{3} dengan y dalam x=-2y+\frac{1}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-2\times \frac{1}{3}+\frac{1}{3}$$

Darabkan -2 kali \frac{1}{3}.

$$x=\frac{-2+1}{3}$$

Tambahkan \frac{1}{3} pada -\frac{2}{3} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{1}{3},y=\frac{1}{3}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x+6y=1,x+y=0$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&6\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&6\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&6\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-6}&-\frac{6}{3-6}\\-\frac{1}{3-6}&\frac{3}{3-6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&2\\\frac{1}{3}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-\frac{1}{3},y=\frac{1}{3}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x+6y=1,x+y=0$$

Untuk menjadikan 3x dan x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$3x+6y=1,3x+3y=0$$

Tolak 3x+3y=0 daripada 3x+6y=1 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$3x-3x+6y-3y=1$$

Tambahkan 3x pada -3x. Seubtan 3x dan -3x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$6y-3y=1$$

Tambahkan 6y pada -3y.

$$3y=1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$y=\frac{1}{3}$$

Gantikan \frac{1}{3} dengan y dalam x+y=0. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x+\frac{1}{3}=0$$

Tolak \frac{1}{3} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{1}{3},y=\frac{1}{3}$$