Selesaikan {l}{3x+5y=7}{2x+y=-9}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = 7 } \\ { 2 x + y = - 9 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = -\frac{52}{7} = -7\frac{3}{7} \approx -7.428571429$$

$$y = \frac{41}{7} = 5\frac{6}{7} \approx 5.857142857$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x+5y=7,2x+y=-9$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x+5y=7$$

Tolak 5y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=-5y+7$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+7\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali -5y+7.

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{7}{3}$$

Gantikan \frac{-5y+7}{3} dengan x dalam persamaan lain, 2x+y=-9.

$$2\left(-\frac{5}{3}y+\frac{7}{3}\right)+y=-9$$

Darabkan 2 kali \frac{-5y+7}{3}.

$$-\frac{10}{3}y+\frac{14}{3}+y=-9$$

Tambahkan -\frac{10y}{3} pada y.

$$-\frac{7}{3}y+\frac{14}{3}=-9$$

Tolak \frac{14}{3} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{7}{3}y=-\frac{41}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{7}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{41}{7}$$

Gantikan \frac{41}{7} dengan y dalam x=-\frac{5}{3}y+\frac{7}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{5}{3}\times \frac{41}{7}+\frac{7}{3}$$

Darabkan -\frac{5}{3} dengan \frac{41}{7} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{205}{21}+\frac{7}{3}$$

Tambahkan \frac{7}{3} pada -\frac{205}{21} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{52}{7}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{52}{7},y=\frac{41}{7}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x+5y=7,2x+y=-9$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-9\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-9\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-9\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-9\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-5\times 2}&-\frac{5}{3-5\times 2}\\-\frac{2}{3-5\times 2}&\frac{3}{3-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-9\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&\frac{5}{7}\\\frac{2}{7}&-\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-9\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\times 7+\frac{5}{7}\left(-9\right)\\\frac{2}{7}\times 7-\frac{3}{7}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{52}{7}\\\frac{41}{7}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-\frac{52}{7},y=\frac{41}{7}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x+5y=7,2x+y=-9$$

Untuk menjadikan 3x dan 2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$2\times 3x+2\times 5y=2\times 7,3\times 2x+3y=3\left(-9\right)$$

Permudahkan.

$$6x+10y=14,6x+3y=-27$$

Tolak 6x+3y=-27 daripada 6x+10y=14 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$6x-6x+10y-3y=14+27$$

Tambahkan 6x pada -6x. Seubtan 6x dan -6x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$10y-3y=14+27$$

Tambahkan 10y pada -3y.

$$7y=14+27$$

Tambahkan 14 pada 27.

$$7y=41$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 7.

$$y=\frac{41}{7}$$

Gantikan \frac{41}{7} dengan y dalam 2x+y=-9. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$2x+\frac{41}{7}=-9$$

Tolak \frac{41}{7} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-\frac{104}{7}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=-\frac{52}{7}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{52}{7},y=\frac{41}{7}$$