Selesaikan {l}{3x+5y=21}{5x+2y=4}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = 21 } \\ { 5 x + 2 y = 4 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = -\frac{22}{19} = -1\frac{3}{19} \approx -1.157894737$$

$$y = \frac{93}{19} = 4\frac{17}{19} \approx 4.894736842$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x+5y=21,5x+2y=4$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x+5y=21$$

Tolak 5y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=-5y+21$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+21\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali -5y+21.

$$x=-\frac{5}{3}y+7$$

Gantikan -\frac{5y}{3}+7 dengan x dalam persamaan lain, 5x+2y=4.

$$5\left(-\frac{5}{3}y+7\right)+2y=4$$

Darabkan 5 kali -\frac{5y}{3}+7.

$$-\frac{25}{3}y+35+2y=4$$

Tambahkan -\frac{25y}{3} pada 2y.

$$-\frac{19}{3}y+35=4$$

Tolak 35 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{19}{3}y=-31$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{19}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{93}{19}$$

Gantikan \frac{93}{19} dengan y dalam x=-\frac{5}{3}y+7. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{5}{3}\times \frac{93}{19}+7$$

Darabkan -\frac{5}{3} dengan \frac{93}{19} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{155}{19}+7$$

Tambahkan 7 pada -\frac{155}{19}.

$$x=-\frac{22}{19}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{22}{19},y=\frac{93}{19}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x+5y=21,5x+2y=4$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\4\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&5\\5&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\4\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\4\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-5\times 5}&-\frac{5}{3\times 2-5\times 5}\\-\frac{5}{3\times 2-5\times 5}&\frac{3}{3\times 2-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\4\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{19}&\frac{5}{19}\\\frac{5}{19}&-\frac{3}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{19}\times 21+\frac{5}{19}\times 4\\\frac{5}{19}\times 21-\frac{3}{19}\times 4\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{22}{19}\\\frac{93}{19}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-\frac{22}{19},y=\frac{93}{19}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x+5y=21,5x+2y=4$$

Untuk menjadikan 3x dan 5x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 5 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$5\times 3x+5\times 5y=5\times 21,3\times 5x+3\times 2y=3\times 4$$

Permudahkan.

$$15x+25y=105,15x+6y=12$$

Tolak 15x+6y=12 daripada 15x+25y=105 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$15x-15x+25y-6y=105-12$$

Tambahkan 15x pada -15x. Seubtan 15x dan -15x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$25y-6y=105-12$$

Tambahkan 25y pada -6y.

$$19y=105-12$$

Tambahkan 105 pada -12.

$$19y=93$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 19.

$$y=\frac{93}{19}$$

Gantikan \frac{93}{19} dengan y dalam 5x+2y=4. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$5x+2\times \frac{93}{19}=4$$

Darabkan 2 kali \frac{93}{19}.

$$5x+\frac{186}{19}=4$$

Tolak \frac{186}{19} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=-\frac{110}{19}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=-\frac{22}{19}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{22}{19},y=\frac{93}{19}$$