Selesaikan {l}{3x+5y=-24}{-5x+2y=-22x}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = - 24 } \\ { - 5 x + 2 y = - 22 x } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=\frac{48}{79}\approx 0.607594937$$

$$y = -\frac{408}{79} = -5\frac{13}{79} \approx -5.164556962$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan 22x pada kedua-dua belah.

$$-5x+2y+22x=0$$

Gabungkan -5x dan 22x untuk mendapatkan 17x.

$$17x+2y=0$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x+5y=-24,17x+2y=0$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x+5y=-24$$

Tolak 5y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=-5y-24$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y-24\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali -5y-24.

$$x=-\frac{5}{3}y-8$$

Gantikan -\frac{5y}{3}-8 dengan x dalam persamaan lain, 17x+2y=0.

$$17\left(-\frac{5}{3}y-8\right)+2y=0$$

Darabkan 17 kali -\frac{5y}{3}-8.

$$-\frac{85}{3}y-136+2y=0$$

Tambahkan -\frac{85y}{3} pada 2y.

$$-\frac{79}{3}y-136=0$$

Tambahkan 136 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{79}{3}y=136$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{79}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-\frac{408}{79}$$

Gantikan -\frac{408}{79} dengan y dalam x=-\frac{5}{3}y-8. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{5}{3}\left(-\frac{408}{79}\right)-8$$

Darabkan -\frac{5}{3} dengan -\frac{408}{79} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{680}{79}-8$$

Tambahkan -8 pada \frac{680}{79}.

$$x=\frac{48}{79}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{48}{79},y=-\frac{408}{79}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan 22x pada kedua-dua belah.

$$-5x+2y+22x=0$$

Gabungkan -5x dan 22x untuk mendapatkan 17x.

$$17x+2y=0$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x+5y=-24,17x+2y=0$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-5\times 17}&-\frac{5}{3\times 2-5\times 17}\\-\frac{17}{3\times 2-5\times 17}&\frac{3}{3\times 2-5\times 17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{79}&\frac{5}{79}\\\frac{17}{79}&-\frac{3}{79}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{79}\left(-24\right)\\\frac{17}{79}\left(-24\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{48}{79}\\-\frac{408}{79}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{48}{79},y=-\frac{408}{79}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan 22x pada kedua-dua belah.

$$-5x+2y+22x=0$$

Gabungkan -5x dan 22x untuk mendapatkan 17x.

$$17x+2y=0$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x+5y=-24,17x+2y=0$$

Untuk menjadikan 3x dan 17x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 17 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$17\times 3x+17\times 5y=17\left(-24\right),3\times 17x+3\times 2y=0$$

Permudahkan.

$$51x+85y=-408,51x+6y=0$$

Tolak 51x+6y=0 daripada 51x+85y=-408 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$51x-51x+85y-6y=-408$$

Tambahkan 51x pada -51x. Seubtan 51x dan -51x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$85y-6y=-408$$

Tambahkan 85y pada -6y.

$$79y=-408$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 79.

$$y=-\frac{408}{79}$$

Gantikan -\frac{408}{79} dengan y dalam 17x+2y=0. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$17x+2\left(-\frac{408}{79}\right)=0$$

Darabkan 2 kali -\frac{408}{79}.

$$17x-\frac{816}{79}=0$$

Tambahkan \frac{816}{79} pada kedua-dua belah persamaan.

$$17x=\frac{816}{79}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 17.

$$x=\frac{48}{79}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{48}{79},y=-\frac{408}{79}$$