Selesaikan {l}{3x+4y=5-6}{2x-3y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = 5 - 6 } \\ { 2 x - 3 y = 8 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{29}{17} = 1\frac{12}{17} \approx 1.705882353$$

$$y = -\frac{26}{17} = -1\frac{9}{17} \approx -1.529411765$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x+4y=-1,2x-3y=8$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x+4y=-1$$

Tolak 4y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=-4y-1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y-1\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali -4y-1.

$$x=-\frac{4}{3}y-\frac{1}{3}$$

Gantikan \frac{-4y-1}{3} dengan x dalam persamaan lain, 2x-3y=8.

$$2\left(-\frac{4}{3}y-\frac{1}{3}\right)-3y=8$$

Darabkan 2 kali \frac{-4y-1}{3}.

$$-\frac{8}{3}y-\frac{2}{3}-3y=8$$

Tambahkan -\frac{8y}{3} pada -3y.

$$-\frac{17}{3}y-\frac{2}{3}=8$$

Tambahkan \frac{2}{3} pada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{17}{3}y=\frac{26}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{17}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-\frac{26}{17}$$

Gantikan -\frac{26}{17} dengan y dalam x=-\frac{4}{3}y-\frac{1}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{4}{3}\left(-\frac{26}{17}\right)-\frac{1}{3}$$

Darabkan -\frac{4}{3} dengan -\frac{26}{17} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{104}{51}-\frac{1}{3}$$

Tambahkan -\frac{1}{3} pada \frac{104}{51} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{29}{17}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{29}{17},y=-\frac{26}{17}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x+4y=-1,2x-3y=8$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\8\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&4\\2&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\8\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\8\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\8\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-4\times 2}&-\frac{4}{3\left(-3\right)-4\times 2}\\-\frac{2}{3\left(-3\right)-4\times 2}&\frac{3}{3\left(-3\right)-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\8\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{17}&\frac{4}{17}\\\frac{2}{17}&-\frac{3}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\8\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{17}\left(-1\right)+\frac{4}{17}\times 8\\\frac{2}{17}\left(-1\right)-\frac{3}{17}\times 8\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{29}{17}\\-\frac{26}{17}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{29}{17},y=-\frac{26}{17}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x+4y=-1,2x-3y=8$$

Untuk menjadikan 3x dan 2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$2\times 3x+2\times 4y=2\left(-1\right),3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\times 8$$

Permudahkan.

$$6x+8y=-2,6x-9y=24$$

Tolak 6x-9y=24 daripada 6x+8y=-2 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$6x-6x+8y+9y=-2-24$$

Tambahkan 6x pada -6x. Seubtan 6x dan -6x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$8y+9y=-2-24$$

Tambahkan 8y pada 9y.

$$17y=-2-24$$

Tambahkan -2 pada -24.

$$17y=-26$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 17.

$$y=-\frac{26}{17}$$

Gantikan -\frac{26}{17} dengan y dalam 2x-3y=8. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$2x-3\left(-\frac{26}{17}\right)=8$$

Darabkan -3 kali -\frac{26}{17}.

$$2x+\frac{78}{17}=8$$

Tolak \frac{78}{17} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=\frac{58}{17}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{29}{17}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{29}{17},y=-\frac{26}{17}$$