Selesaikan {l}{3x+4y=5}{4x+9y=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = 5 } \\ { 4 x + 9 y = 6 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{21}{11} = 1\frac{10}{11} \approx 1.909090909$$

$$y=-\frac{2}{11}\approx -0.181818182$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x+4y=5,4x+9y=6$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x+4y=5$$

Tolak 4y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=-4y+5$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+5\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali -4y+5.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{5}{3}$$

Gantikan \frac{-4y+5}{3} dengan x dalam persamaan lain, 4x+9y=6.

$$4\left(-\frac{4}{3}y+\frac{5}{3}\right)+9y=6$$

Darabkan 4 kali \frac{-4y+5}{3}.

$$-\frac{16}{3}y+\frac{20}{3}+9y=6$$

Tambahkan -\frac{16y}{3} pada 9y.

$$\frac{11}{3}y+\frac{20}{3}=6$$

Tolak \frac{20}{3} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{11}{3}y=-\frac{2}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{11}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-\frac{2}{11}$$

Gantikan -\frac{2}{11} dengan y dalam x=-\frac{4}{3}y+\frac{5}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{4}{3}\left(-\frac{2}{11}\right)+\frac{5}{3}$$

Darabkan -\frac{4}{3} dengan -\frac{2}{11} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{8}{33}+\frac{5}{3}$$

Tambahkan \frac{5}{3} pada \frac{8}{33} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{21}{11}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{21}{11},y=-\frac{2}{11}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x+4y=5,4x+9y=6$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\4&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&4\\4&9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\4&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{3\times 9-4\times 4}&-\frac{4}{3\times 9-4\times 4}\\-\frac{4}{3\times 9-4\times 4}&\frac{3}{3\times 9-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{11}&-\frac{4}{11}\\-\frac{4}{11}&\frac{3}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{11}\times 5-\frac{4}{11}\times 6\\-\frac{4}{11}\times 5+\frac{3}{11}\times 6\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{21}{11}\\-\frac{2}{11}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{21}{11},y=-\frac{2}{11}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x+4y=5,4x+9y=6$$

Untuk menjadikan 3x dan 4x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 4 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$4\times 3x+4\times 4y=4\times 5,3\times 4x+3\times 9y=3\times 6$$

Permudahkan.

$$12x+16y=20,12x+27y=18$$

Tolak 12x+27y=18 daripada 12x+16y=20 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$12x-12x+16y-27y=20-18$$

Tambahkan 12x pada -12x. Seubtan 12x dan -12x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$16y-27y=20-18$$

Tambahkan 16y pada -27y.

$$-11y=20-18$$

Tambahkan 20 pada -18.

$$-11y=2$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -11.

$$y=-\frac{2}{11}$$

Gantikan -\frac{2}{11} dengan y dalam 4x+9y=6. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$4x+9\left(-\frac{2}{11}\right)=6$$

Darabkan 9 kali -\frac{2}{11}.

$$4x-\frac{18}{11}=6$$

Tambahkan \frac{18}{11} pada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=\frac{84}{11}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=\frac{21}{11}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{21}{11},y=-\frac{2}{11}$$