Selesaikan {l}{3x+4y=3}{8x+7y=14}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = 3 } \\ { 8 x + 7 y = 14 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{35}{11} = 3\frac{2}{11} \approx 3.181818182$$

$$y = -\frac{18}{11} = -1\frac{7}{11} \approx -1.636363636$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x+4y=3,8x+7y=14$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x+4y=3$$

Tolak 4y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=-4y+3$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+3\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali -4y+3.

$$x=-\frac{4}{3}y+1$$

Gantikan -\frac{4y}{3}+1 dengan x dalam persamaan lain, 8x+7y=14.

$$8\left(-\frac{4}{3}y+1\right)+7y=14$$

Darabkan 8 kali -\frac{4y}{3}+1.

$$-\frac{32}{3}y+8+7y=14$$

Tambahkan -\frac{32y}{3} pada 7y.

$$-\frac{11}{3}y+8=14$$

Tolak 8 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{11}{3}y=6$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{11}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-\frac{18}{11}$$

Gantikan -\frac{18}{11} dengan y dalam x=-\frac{4}{3}y+1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{4}{3}\left(-\frac{18}{11}\right)+1$$

Darabkan -\frac{4}{3} dengan -\frac{18}{11} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{24}{11}+1$$

Tambahkan 1 pada \frac{24}{11}.

$$x=\frac{35}{11}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{35}{11},y=-\frac{18}{11}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x+4y=3,8x+7y=14$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\14\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\14\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\14\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\14\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3\times 7-4\times 8}&-\frac{4}{3\times 7-4\times 8}\\-\frac{8}{3\times 7-4\times 8}&\frac{3}{3\times 7-4\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\14\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{11}&\frac{4}{11}\\\frac{8}{11}&-\frac{3}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\14\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{11}\times 3+\frac{4}{11}\times 14\\\frac{8}{11}\times 3-\frac{3}{11}\times 14\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{35}{11}\\-\frac{18}{11}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{35}{11},y=-\frac{18}{11}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x+4y=3,8x+7y=14$$

Untuk menjadikan 3x dan 8x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 8 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$8\times 3x+8\times 4y=8\times 3,3\times 8x+3\times 7y=3\times 14$$

Permudahkan.

$$24x+32y=24,24x+21y=42$$

Tolak 24x+21y=42 daripada 24x+32y=24 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$24x-24x+32y-21y=24-42$$

Tambahkan 24x pada -24x. Seubtan 24x dan -24x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$32y-21y=24-42$$

Tambahkan 32y pada -21y.

$$11y=24-42$$

Tambahkan 24 pada -42.

$$11y=-18$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 11.

$$y=-\frac{18}{11}$$

Gantikan -\frac{18}{11} dengan y dalam 8x+7y=14. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$8x+7\left(-\frac{18}{11}\right)=14$$

Darabkan 7 kali -\frac{18}{11}.

$$8x-\frac{126}{11}=14$$

Tambahkan \frac{126}{11} pada kedua-dua belah persamaan.

$$8x=\frac{280}{11}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 8.

$$x=\frac{35}{11}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{35}{11},y=-\frac{18}{11}$$