Selesaikan {l}{3x+4y=28}{9x-6y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = 28 } \\ { 9 x - 6 y = 8 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{100}{27} = 3\frac{19}{27} \approx 3.703703704$$

$$y = \frac{38}{9} = 4\frac{2}{9} \approx 4.222222222$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x+4y=28,9x-6y=8$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x+4y=28$$

Tolak 4y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=-4y+28$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+28\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali -4y+28.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{28}{3}$$

Gantikan \frac{-4y+28}{3} dengan x dalam persamaan lain, 9x-6y=8.

$$9\left(-\frac{4}{3}y+\frac{28}{3}\right)-6y=8$$

Darabkan 9 kali \frac{-4y+28}{3}.

$$-12y+84-6y=8$$

Tambahkan -12y pada -6y.

$$-18y+84=8$$

Tolak 84 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-18y=-76$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -18.

$$y=\frac{38}{9}$$

Gantikan \frac{38}{9} dengan y dalam x=-\frac{4}{3}y+\frac{28}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{4}{3}\times \frac{38}{9}+\frac{28}{3}$$

Darabkan -\frac{4}{3} dengan \frac{38}{9} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{152}{27}+\frac{28}{3}$$

Tambahkan \frac{28}{3} pada -\frac{152}{27} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{100}{27}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{100}{27},y=\frac{38}{9}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x+4y=28,9x-6y=8$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\9&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\8\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&4\\9&-6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\9&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\9&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\9&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\8\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\9&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\8\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\9&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\8\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{3\left(-6\right)-4\times 9}&-\frac{4}{3\left(-6\right)-4\times 9}\\-\frac{9}{3\left(-6\right)-4\times 9}&\frac{3}{3\left(-6\right)-4\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\8\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&\frac{2}{27}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\8\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\times 28+\frac{2}{27}\times 8\\\frac{1}{6}\times 28-\frac{1}{18}\times 8\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{100}{27}\\\frac{38}{9}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{100}{27},y=\frac{38}{9}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x+4y=28,9x-6y=8$$

Untuk menjadikan 3x dan 9x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 9 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$9\times 3x+9\times 4y=9\times 28,3\times 9x+3\left(-6\right)y=3\times 8$$

Permudahkan.

$$27x+36y=252,27x-18y=24$$

Tolak 27x-18y=24 daripada 27x+36y=252 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$27x-27x+36y+18y=252-24$$

Tambahkan 27x pada -27x. Seubtan 27x dan -27x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$36y+18y=252-24$$

Tambahkan 36y pada 18y.

$$54y=252-24$$

Tambahkan 252 pada -24.

$$54y=228$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 54.

$$y=\frac{38}{9}$$

Gantikan \frac{38}{9} dengan y dalam 9x-6y=8. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$9x-6\times \frac{38}{9}=8$$

Darabkan -6 kali \frac{38}{9}.

$$9x-\frac{76}{3}=8$$

Tambahkan \frac{76}{3} pada kedua-dua belah persamaan.

$$9x=\frac{100}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 9.

$$x=\frac{100}{27}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{100}{27},y=\frac{38}{9}$$