Selesaikan {l}{3x+4y=253}{y=5x}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = 253 } \\ { y = 5 x } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=11$$

$$y=55$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 5x daripada kedua-dua belah.

$$y-5x=0$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x+4y=253,-5x+y=0$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x+4y=253$$

Tolak 4y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=-4y+253$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+253\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali -4y+253.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{253}{3}$$

Gantikan \frac{-4y+253}{3} dengan x dalam persamaan lain, -5x+y=0.

$$-5\left(-\frac{4}{3}y+\frac{253}{3}\right)+y=0$$

Darabkan -5 kali \frac{-4y+253}{3}.

$$\frac{20}{3}y-\frac{1265}{3}+y=0$$

Tambahkan \frac{20y}{3} pada y.

$$\frac{23}{3}y-\frac{1265}{3}=0$$

Tambahkan \frac{1265}{3} pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{23}{3}y=\frac{1265}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{23}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=55$$

Gantikan 55 dengan y dalam x=-\frac{4}{3}y+\frac{253}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{4}{3}\times 55+\frac{253}{3}$$

Darabkan -\frac{4}{3} kali 55.

$$x=\frac{-220+253}{3}$$

Tambahkan \frac{253}{3} pada -\frac{220}{3} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=11$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=11,y=55$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 5x daripada kedua-dua belah.

$$y-5x=0$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x+4y=253,-5x+y=0$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\-5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}253\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&4\\-5&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\-5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}253\\0\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}253\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}253\\0\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-4\left(-5\right)}&-\frac{4}{3-4\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{3-4\left(-5\right)}&\frac{3}{3-4\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}253\\0\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{23}&-\frac{4}{23}\\\frac{5}{23}&\frac{3}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}253\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{23}\times 253\\\frac{5}{23}\times 253\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\55\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=11,y=55$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 5x daripada kedua-dua belah.

$$y-5x=0$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x+4y=253,-5x+y=0$$

Untuk menjadikan 3x dan -5x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -5 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$-5\times 3x-5\times 4y=-5\times 253,3\left(-5\right)x+3y=0$$

Permudahkan.

$$-15x-20y=-1265,-15x+3y=0$$

Tolak -15x+3y=0 daripada -15x-20y=-1265 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-15x+15x-20y-3y=-1265$$

Tambahkan -15x pada 15x. Seubtan -15x dan 15x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-20y-3y=-1265$$

Tambahkan -20y pada -3y.

$$-23y=-1265$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -23.

$$y=55$$

Gantikan 55 dengan y dalam -5x+y=0. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-5x+55=0$$

Tolak 55 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-5x=-55$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -5.

$$x=11$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=11,y=55$$