Selesaikan {l}{3x+4y=1}{2x+3y=-1}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = 1 } \\ { 2 x + 3 y = - 1 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=7$$

$$y=-5$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x+4y=1,2x+3y=-1$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x+4y=1$$

Tolak 4y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=-4y+1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+1\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali -4y+1.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}$$

Gantikan \frac{-4y+1}{3} dengan x dalam persamaan lain, 2x+3y=-1.

$$2\left(-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}\right)+3y=-1$$

Darabkan 2 kali \frac{-4y+1}{3}.

$$-\frac{8}{3}y+\frac{2}{3}+3y=-1$$

Tambahkan -\frac{8y}{3} pada 3y.

$$\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}=-1$$

Tolak \frac{2}{3} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{1}{3}y=-\frac{5}{3}$$

Darabkan kedua-dua belah dengan 3.

$$y=-5$$

Gantikan -5 dengan y dalam x=-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{4}{3}\left(-5\right)+\frac{1}{3}$$

Darabkan -\frac{4}{3} kali -5.

$$x=\frac{20+1}{3}$$

Tambahkan \frac{1}{3} pada \frac{20}{3} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=7$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=7,y=-5$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x+4y=1,2x+3y=-1$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&4\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-4\times 2}&-\frac{4}{3\times 3-4\times 2}\\-\frac{2}{3\times 3-4\times 2}&\frac{3}{3\times 3-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-4\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3-4\left(-1\right)\\-2+3\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=7,y=-5$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x+4y=1,2x+3y=-1$$

Untuk menjadikan 3x dan 2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$2\times 3x+2\times 4y=2,3\times 2x+3\times 3y=3\left(-1\right)$$

Permudahkan.

$$6x+8y=2,6x+9y=-3$$

Tolak 6x+9y=-3 daripada 6x+8y=2 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$6x-6x+8y-9y=2+3$$

Tambahkan 6x pada -6x. Seubtan 6x dan -6x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$8y-9y=2+3$$

Tambahkan 8y pada -9y.

$$-y=2+3$$

Tambahkan 2 pada 3.

$$-y=5$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$y=-5$$

Gantikan -5 dengan y dalam 2x+3y=-1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$2x+3\left(-5\right)=-1$$

Darabkan 3 kali -5.

$$2x-15=-1$$

Tambahkan 15 pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=14$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=7$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=7,y=-5$$