Selesaikan {l}{3x+4y=0}{6x+2y=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = 0 } \\ { 6 x + 2 y = 0 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=0$$

$$y=0$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x+4y=0,6x+2y=0$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x+4y=0$$

Tolak 4y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=-4y$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4\right)y$$

Darabkan \frac{1}{3} kali -4y.

$$x=-\frac{4}{3}y$$

Gantikan -\frac{4y}{3} dengan x dalam persamaan lain, 6x+2y=0.

$$6\left(-\frac{4}{3}\right)y+2y=0$$

Darabkan 6 kali -\frac{4y}{3}.

$$-8y+2y=0$$

Tambahkan -8y pada 2y.

$$-6y=0$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -6.

$$y=0$$

Gantikan 0 dengan y dalam x=-\frac{4}{3}y. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=0$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=0,y=0$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x+4y=0,6x+2y=0$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&4\\6&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-4\times 6}&-\frac{4}{3\times 2-4\times 6}\\-\frac{6}{3\times 2-4\times 6}&\frac{3}{3\times 2-4\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}&\frac{2}{9}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=0,y=0$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x+4y=0,6x+2y=0$$

Untuk menjadikan 3x dan 6x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 6 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$6\times 3x+6\times 4y=0,3\times 6x+3\times 2y=0$$

Permudahkan.

$$18x+24y=0,18x+6y=0$$

Tolak 18x+6y=0 daripada 18x+24y=0 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$18x-18x+24y-6y=0$$

Tambahkan 18x pada -18x. Seubtan 18x dan -18x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$24y-6y=0$$

Tambahkan 24y pada -6y.

$$18y=0$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 18.

$$y=0$$

Gantikan 0 dengan y dalam 6x+2y=0. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$6x=0$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6.

$$x=0$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=0,y=0$$