Selesaikan {l}{3x+4y=-4}{4x+3y=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = - 4 } \\ { 4 x + 3 y = 6 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{36}{7} = 5\frac{1}{7} \approx 5.142857143$$

$$y = -\frac{34}{7} = -4\frac{6}{7} \approx -4.857142857$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x+4y=-4,4x+3y=6$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x+4y=-4$$

Tolak 4y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=-4y-4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y-4\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali -4y-4.

$$x=-\frac{4}{3}y-\frac{4}{3}$$

Gantikan \frac{-4y-4}{3} dengan x dalam persamaan lain, 4x+3y=6.

$$4\left(-\frac{4}{3}y-\frac{4}{3}\right)+3y=6$$

Darabkan 4 kali \frac{-4y-4}{3}.

$$-\frac{16}{3}y-\frac{16}{3}+3y=6$$

Tambahkan -\frac{16y}{3} pada 3y.

$$-\frac{7}{3}y-\frac{16}{3}=6$$

Tambahkan \frac{16}{3} pada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{7}{3}y=\frac{34}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{7}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-\frac{34}{7}$$

Gantikan -\frac{34}{7} dengan y dalam x=-\frac{4}{3}y-\frac{4}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{4}{3}\left(-\frac{34}{7}\right)-\frac{4}{3}$$

Darabkan -\frac{4}{3} dengan -\frac{34}{7} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{136}{21}-\frac{4}{3}$$

Tambahkan -\frac{4}{3} pada \frac{136}{21} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{36}{7}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{36}{7},y=-\frac{34}{7}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x+4y=-4,4x+3y=6$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&4\\4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-4\times 4}&-\frac{4}{3\times 3-4\times 4}\\-\frac{4}{3\times 3-4\times 4}&\frac{3}{3\times 3-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{7}&\frac{4}{7}\\\frac{4}{7}&-\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{7}\left(-4\right)+\frac{4}{7}\times 6\\\frac{4}{7}\left(-4\right)-\frac{3}{7}\times 6\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{36}{7}\\-\frac{34}{7}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{36}{7},y=-\frac{34}{7}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x+4y=-4,4x+3y=6$$

Untuk menjadikan 3x dan 4x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 4 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$4\times 3x+4\times 4y=4\left(-4\right),3\times 4x+3\times 3y=3\times 6$$

Permudahkan.

$$12x+16y=-16,12x+9y=18$$

Tolak 12x+9y=18 daripada 12x+16y=-16 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$12x-12x+16y-9y=-16-18$$

Tambahkan 12x pada -12x. Seubtan 12x dan -12x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$16y-9y=-16-18$$

Tambahkan 16y pada -9y.

$$7y=-16-18$$

Tambahkan -16 pada -18.

$$7y=-34$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 7.

$$y=-\frac{34}{7}$$

Gantikan -\frac{34}{7} dengan y dalam 4x+3y=6. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$4x+3\left(-\frac{34}{7}\right)=6$$

Darabkan 3 kali -\frac{34}{7}.

$$4x-\frac{102}{7}=6$$

Tambahkan \frac{102}{7} pada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=\frac{144}{7}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=\frac{36}{7}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{36}{7},y=-\frac{34}{7}$$