Selesaikan {l}{3x+4y=-10}{x-4y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = - 10 } \\ { x - 4 y = 2 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-2$$

$$y=-1$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x+4y=-10,x-4y=2$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x+4y=-10$$

Tolak 4y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=-4y-10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y-10\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali -4y-10.

$$x=-\frac{4}{3}y-\frac{10}{3}$$

Gantikan \frac{-4y-10}{3} dengan x dalam persamaan lain, x-4y=2.

$$-\frac{4}{3}y-\frac{10}{3}-4y=2$$

Tambahkan -\frac{4y}{3} pada -4y.

$$-\frac{16}{3}y-\frac{10}{3}=2$$

Tambahkan \frac{10}{3} pada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{16}{3}y=\frac{16}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{16}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-1$$

Gantikan -1 dengan y dalam x=-\frac{4}{3}y-\frac{10}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{4}{3}\left(-1\right)-\frac{10}{3}$$

Darabkan -\frac{4}{3} kali -1.

$$x=\frac{4-10}{3}$$

Tambahkan -\frac{10}{3} pada \frac{4}{3} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-2,y=-1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x+4y=-10,x-4y=2$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&4\\1&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\2\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\2\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3\left(-4\right)-4}&-\frac{4}{3\left(-4\right)-4}\\-\frac{1}{3\left(-4\right)-4}&\frac{3}{3\left(-4\right)-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{16}&-\frac{3}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\left(-10\right)+\frac{1}{4}\times 2\\\frac{1}{16}\left(-10\right)-\frac{3}{16}\times 2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-2,y=-1$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x+4y=-10,x-4y=2$$

Untuk menjadikan 3x dan x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$3x+4y=-10,3x+3\left(-4\right)y=3\times 2$$

Permudahkan.

$$3x+4y=-10,3x-12y=6$$

Tolak 3x-12y=6 daripada 3x+4y=-10 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$3x-3x+4y+12y=-10-6$$

Tambahkan 3x pada -3x. Seubtan 3x dan -3x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$4y+12y=-10-6$$

Tambahkan 4y pada 12y.

$$16y=-10-6$$

Tambahkan -10 pada -6.

$$16y=-16$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 16.

$$y=-1$$

Gantikan -1 dengan y dalam x-4y=2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x-4\left(-1\right)=2$$

Darabkan -4 kali -1.

$$x+4=2$$

Tolak 4 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-2,y=-1$$