Selesaikan {l}{3x+4y+200=5}{2x+y+100=5}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y + 200 = 5 } \\ { 2 x + y + 100 = 5 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-37$$

$$y=-21$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x+4y+200=5,2x+y+100=5$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x+4y+200=5$$

Tolak 200 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x+4y=-195$$

Tolak 4y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=-4y-195$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y-195\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali -4y-195.

$$x=-\frac{4}{3}y-65$$

Gantikan -\frac{4y}{3}-65 dengan x dalam persamaan lain, 2x+y+100=5.

$$2\left(-\frac{4}{3}y-65\right)+y+100=5$$

Darabkan 2 kali -\frac{4y}{3}-65.

$$-\frac{8}{3}y-130+y+100=5$$

Tambahkan -\frac{8y}{3} pada y.

$$-\frac{5}{3}y-130+100=5$$

Tambahkan -130 pada 100.

$$-\frac{5}{3}y-30=5$$

Tambahkan 30 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{5}{3}y=35$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{5}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-21$$

Gantikan -21 dengan y dalam x=-\frac{4}{3}y-65. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{4}{3}\left(-21\right)-65$$

Darabkan -\frac{4}{3} kali -21.

$$x=28-65$$

Tambahkan -65 pada 28.

$$x=-37$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-37,y=-21$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x+4y+200=5,2x+y+100=5$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-195\\-95\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&4\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-195\\-95\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-195\\-95\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-195\\-95\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-4\times 2}&-\frac{4}{3-4\times 2}\\-\frac{2}{3-4\times 2}&\frac{3}{3-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-195\\-95\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{4}{5}\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-195\\-95\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\left(-195\right)+\frac{4}{5}\left(-95\right)\\\frac{2}{5}\left(-195\right)-\frac{3}{5}\left(-95\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-37\\-21\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-37,y=-21$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x+4y+200=5,2x+y+100=5$$

Untuk menjadikan 3x dan 2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$2\times 3x+2\times 4y+2\times 200=2\times 5,3\times 2x+3y+3\times 100=3\times 5$$

Permudahkan.

$$6x+8y+400=10,6x+3y+300=15$$

Tolak 6x+3y+300=15 daripada 6x+8y+400=10 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$6x-6x+8y-3y+400-300=10-15$$

Tambahkan 6x pada -6x. Seubtan 6x dan -6x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$8y-3y+400-300=10-15$$

Tambahkan 8y pada -3y.

$$5y+400-300=10-15$$

Tambahkan 400 pada -300.

$$5y+100=10-15$$

Tambahkan 10 pada -15.

$$5y+100=-5$$

Tolak 100 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$5y=-105$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$y=-21$$

Gantikan -21 dengan y dalam 2x+y+100=5. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$2x-21+100=5$$

Tambahkan -21 pada 100.

$$2x+79=5$$

Tolak 79 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-74$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=-37$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-37,y=-21$$