Selesaikan {l}{3x+2y-5=0}{x=y+10}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y - 5 = 0 } \\ { x = y + 10 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=5$$

$$y=-5$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tambahkan 5 pada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditambahkan pada sifar menjadikannya nombor itu sendiri.

$$3x+2y=5$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak y daripada kedua-dua belah.

$$x-y=10$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x+2y=5,x-y=10$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x+2y=5$$

Tolak 2y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=-2y+5$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+5\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali -2y+5.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}$$

Gantikan \frac{-2y+5}{3} dengan x dalam persamaan lain, x-y=10.

$$-\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}-y=10$$

Tambahkan -\frac{2y}{3} pada -y.

$$-\frac{5}{3}y+\frac{5}{3}=10$$

Tolak \frac{5}{3} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{5}{3}y=\frac{25}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{5}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-5$$

Gantikan -5 dengan y dalam x=-\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{2}{3}\left(-5\right)+\frac{5}{3}$$

Darabkan -\frac{2}{3} kali -5.

$$x=\frac{10+5}{3}$$

Tambahkan \frac{5}{3} pada \frac{10}{3} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=5$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=5,y=-5$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tambahkan 5 pada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditambahkan pada sifar menjadikannya nombor itu sendiri.

$$3x+2y=5$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak y daripada kedua-dua belah.

$$x-y=10$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x+2y=5,x-y=10$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&2\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-2}&-\frac{2}{3\left(-1\right)-2}\\-\frac{1}{3\left(-1\right)-2}&\frac{3}{3\left(-1\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 5+\frac{2}{5}\times 10\\\frac{1}{5}\times 5-\frac{3}{5}\times 10\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-5\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=5,y=-5$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tambahkan 5 pada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditambahkan pada sifar menjadikannya nombor itu sendiri.

$$3x+2y=5$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak y daripada kedua-dua belah.

$$x-y=10$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x+2y=5,x-y=10$$

Untuk menjadikan 3x dan x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$3x+2y=5,3x+3\left(-1\right)y=3\times 10$$

Permudahkan.

$$3x+2y=5,3x-3y=30$$

Tolak 3x-3y=30 daripada 3x+2y=5 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$3x-3x+2y+3y=5-30$$

Tambahkan 3x pada -3x. Seubtan 3x dan -3x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$2y+3y=5-30$$

Tambahkan 2y pada 3y.

$$5y=5-30$$

Tambahkan 5 pada -30.

$$5y=-25$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$y=-5$$

Gantikan -5 dengan y dalam x-y=10. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x-\left(-5\right)=10$$

Tolak 5 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=5$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=5,y=-5$$