Selesaikan {l}{3x+2y=87}{5x+6y=187}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 87 } \\ { 5 x + 6 y = 187 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{37}{2} = 18\frac{1}{2} = 18.5$$

$$y = \frac{63}{4} = 15\frac{3}{4} = 15.75$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x+2y=87,5x+6y=187$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x+2y=87$$

Tolak 2y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=-2y+87$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+87\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali -2y+87.

$$x=-\frac{2}{3}y+29$$

Gantikan -\frac{2y}{3}+29 dengan x dalam persamaan lain, 5x+6y=187.

$$5\left(-\frac{2}{3}y+29\right)+6y=187$$

Darabkan 5 kali -\frac{2y}{3}+29.

$$-\frac{10}{3}y+145+6y=187$$

Tambahkan -\frac{10y}{3} pada 6y.

$$\frac{8}{3}y+145=187$$

Tolak 145 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{8}{3}y=42$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{8}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{63}{4}$$

Gantikan \frac{63}{4} dengan y dalam x=-\frac{2}{3}y+29. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{63}{4}+29$$

Darabkan -\frac{2}{3} dengan \frac{63}{4} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{21}{2}+29$$

Tambahkan 29 pada -\frac{21}{2}.

$$x=\frac{37}{2}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{37}{2},y=\frac{63}{4}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x+2y=87,5x+6y=187$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}87\\187\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&2\\5&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}87\\187\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}87\\187\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}87\\187\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{3\times 6-2\times 5}&-\frac{2}{3\times 6-2\times 5}\\-\frac{5}{3\times 6-2\times 5}&\frac{3}{3\times 6-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}87\\187\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}\\-\frac{5}{8}&\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}87\\187\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 87-\frac{1}{4}\times 187\\-\frac{5}{8}\times 87+\frac{3}{8}\times 187\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{37}{2}\\\frac{63}{4}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{37}{2},y=\frac{63}{4}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x+2y=87,5x+6y=187$$

Untuk menjadikan 3x dan 5x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 5 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$5\times 3x+5\times 2y=5\times 87,3\times 5x+3\times 6y=3\times 187$$

Permudahkan.

$$15x+10y=435,15x+18y=561$$

Tolak 15x+18y=561 daripada 15x+10y=435 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$15x-15x+10y-18y=435-561$$

Tambahkan 15x pada -15x. Seubtan 15x dan -15x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$10y-18y=435-561$$

Tambahkan 10y pada -18y.

$$-8y=435-561$$

Tambahkan 435 pada -561.

$$-8y=-126$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -8.

$$y=\frac{63}{4}$$

Gantikan \frac{63}{4} dengan y dalam 5x+6y=187. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$5x+6\times \frac{63}{4}=187$$

Darabkan 6 kali \frac{63}{4}.

$$5x+\frac{189}{2}=187$$

Tolak \frac{189}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=\frac{185}{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=\frac{37}{2}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{37}{2},y=\frac{63}{4}$$