Selesaikan {l}{3x+2y=7}{6x-4y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 7 } \\ { 6 x - 4 y = 2 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

$$y = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x+2y=7,6x-4y=2$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x+2y=7$$

Tolak 2y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=-2y+7$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+7\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali -2y+7.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}$$

Gantikan \frac{-2y+7}{3} dengan x dalam persamaan lain, 6x-4y=2.

$$6\left(-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}\right)-4y=2$$

Darabkan 6 kali \frac{-2y+7}{3}.

$$-4y+14-4y=2$$

Tambahkan -4y pada -4y.

$$-8y+14=2$$

Tolak 14 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-8y=-12$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -8.

$$y=\frac{3}{2}$$

Gantikan \frac{3}{2} dengan y dalam x=-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{3}{2}+\frac{7}{3}$$

Darabkan -\frac{2}{3} dengan \frac{3}{2} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-1+\frac{7}{3}$$

Tambahkan \frac{7}{3} pada -1.

$$x=\frac{4}{3}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{4}{3},y=\frac{3}{2}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x+2y=7,6x-4y=2$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&2\\6&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3\left(-4\right)-2\times 6}&-\frac{2}{3\left(-4\right)-2\times 6}\\-\frac{6}{3\left(-4\right)-2\times 6}&\frac{3}{3\left(-4\right)-2\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{12}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 7+\frac{1}{12}\times 2\\\frac{1}{4}\times 7-\frac{1}{8}\times 2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\\\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{4}{3},y=\frac{3}{2}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x+2y=7,6x-4y=2$$

Untuk menjadikan 3x dan 6x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 6 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$6\times 3x+6\times 2y=6\times 7,3\times 6x+3\left(-4\right)y=3\times 2$$

Permudahkan.

$$18x+12y=42,18x-12y=6$$

Tolak 18x-12y=6 daripada 18x+12y=42 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$18x-18x+12y+12y=42-6$$

Tambahkan 18x pada -18x. Seubtan 18x dan -18x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$12y+12y=42-6$$

Tambahkan 12y pada 12y.

$$24y=42-6$$

Tambahkan 42 pada -6.

$$24y=36$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 24.

$$y=\frac{3}{2}$$

Gantikan \frac{3}{2} dengan y dalam 6x-4y=2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$6x-4\times \frac{3}{2}=2$$

Darabkan -4 kali \frac{3}{2}.

$$6x-6=2$$

Tambahkan 6 pada kedua-dua belah persamaan.

$$6x=8$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6.

$$x=\frac{4}{3}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{4}{3},y=\frac{3}{2}$$