Selesaikan {l}{3x+2y=7}{4x+6y=13}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 7 } \\ { 4 x + 6 y = 13 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{8}{5} = 1\frac{3}{5} = 1.6$$

$$y = \frac{11}{10} = 1\frac{1}{10} = 1.1$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x+2y=7,4x+6y=13$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x+2y=7$$

Tolak 2y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=-2y+7$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+7\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali -2y+7.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}$$

Gantikan \frac{-2y+7}{3} dengan x dalam persamaan lain, 4x+6y=13.

$$4\left(-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}\right)+6y=13$$

Darabkan 4 kali \frac{-2y+7}{3}.

$$-\frac{8}{3}y+\frac{28}{3}+6y=13$$

Tambahkan -\frac{8y}{3} pada 6y.

$$\frac{10}{3}y+\frac{28}{3}=13$$

Tolak \frac{28}{3} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{10}{3}y=\frac{11}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{10}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{11}{10}$$

Gantikan \frac{11}{10} dengan y dalam x=-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{11}{10}+\frac{7}{3}$$

Darabkan -\frac{2}{3} dengan \frac{11}{10} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{11}{15}+\frac{7}{3}$$

Tambahkan \frac{7}{3} pada -\frac{11}{15} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{8}{5}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{8}{5},y=\frac{11}{10}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x+2y=7,4x+6y=13$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\13\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&2\\4&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\13\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\13\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\13\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{3\times 6-2\times 4}&-\frac{2}{3\times 6-2\times 4}\\-\frac{4}{3\times 6-2\times 4}&\frac{3}{3\times 6-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\13\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{2}{5}&\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\13\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 7-\frac{1}{5}\times 13\\-\frac{2}{5}\times 7+\frac{3}{10}\times 13\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{5}\\\frac{11}{10}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{8}{5},y=\frac{11}{10}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x+2y=7,4x+6y=13$$

Untuk menjadikan 3x dan 4x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 4 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$4\times 3x+4\times 2y=4\times 7,3\times 4x+3\times 6y=3\times 13$$

Permudahkan.

$$12x+8y=28,12x+18y=39$$

Tolak 12x+18y=39 daripada 12x+8y=28 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$12x-12x+8y-18y=28-39$$

Tambahkan 12x pada -12x. Seubtan 12x dan -12x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$8y-18y=28-39$$

Tambahkan 8y pada -18y.

$$-10y=28-39$$

Tambahkan 28 pada -39.

$$-10y=-11$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -10.

$$y=\frac{11}{10}$$

Gantikan \frac{11}{10} dengan y dalam 4x+6y=13. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$4x+6\times \frac{11}{10}=13$$

Darabkan 6 kali \frac{11}{10}.

$$4x+\frac{33}{5}=13$$

Tolak \frac{33}{5} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=\frac{32}{5}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=\frac{8}{5}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{8}{5},y=\frac{11}{10}$$