Selesaikan {l}{3x+2y=32}{-x+3y=15}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 32 } \\ { - x + 3 y = 15 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=6$$

$$y=7$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x+2y=32,-x+3y=15$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x+2y=32$$

Tolak 2y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=-2y+32$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+32\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali -2y+32.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{32}{3}$$

Gantikan \frac{-2y+32}{3} dengan x dalam persamaan lain, -x+3y=15.

$$-\left(-\frac{2}{3}y+\frac{32}{3}\right)+3y=15$$

Darabkan -1 kali \frac{-2y+32}{3}.

$$\frac{2}{3}y-\frac{32}{3}+3y=15$$

Tambahkan \frac{2y}{3} pada 3y.

$$\frac{11}{3}y-\frac{32}{3}=15$$

Tambahkan \frac{32}{3} pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{11}{3}y=\frac{77}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{11}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=7$$

Gantikan 7 dengan y dalam x=-\frac{2}{3}y+\frac{32}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{2}{3}\times 7+\frac{32}{3}$$

Darabkan -\frac{2}{3} kali 7.

$$x=\frac{-14+32}{3}$$

Tambahkan \frac{32}{3} pada -\frac{14}{3} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=6$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=6,y=7$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x+2y=32,-x+3y=15$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}32\\15\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&2\\-1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\15\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\15\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\15\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-2\left(-1\right)}&-\frac{2}{3\times 3-2\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3\times 3-2\left(-1\right)}&\frac{3}{3\times 3-2\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}32\\15\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}&-\frac{2}{11}\\\frac{1}{11}&\frac{3}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}32\\15\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}\times 32-\frac{2}{11}\times 15\\\frac{1}{11}\times 32+\frac{3}{11}\times 15\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=6,y=7$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x+2y=32,-x+3y=15$$

Untuk menjadikan 3x dan -x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$-3x-2y=-32,3\left(-1\right)x+3\times 3y=3\times 15$$

Permudahkan.

$$-3x-2y=-32,-3x+9y=45$$

Tolak -3x+9y=45 daripada -3x-2y=-32 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-3x+3x-2y-9y=-32-45$$

Tambahkan -3x pada 3x. Seubtan -3x dan 3x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-2y-9y=-32-45$$

Tambahkan -2y pada -9y.

$$-11y=-32-45$$

Tambahkan -32 pada -45.

$$-11y=-77$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -11.

$$y=7$$

Gantikan 7 dengan y dalam -x+3y=15. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-x+3\times 7=15$$

Darabkan 3 kali 7.

$$-x+21=15$$

Tolak 21 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-x=-6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$x=6$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=6,y=7$$