Selesaikan {l}{3x+2y=3}{x-y=21}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 3 } \\ { x - y = 21 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=9$$

$$y=-12$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x+2y=3,x-y=21$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x+2y=3$$

Tolak 2y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=-2y+3$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+3\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali -2y+3.

$$x=-\frac{2}{3}y+1$$

Gantikan -\frac{2y}{3}+1 dengan x dalam persamaan lain, x-y=21.

$$-\frac{2}{3}y+1-y=21$$

Tambahkan -\frac{2y}{3} pada -y.

$$-\frac{5}{3}y+1=21$$

Tolak 1 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{5}{3}y=20$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{5}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-12$$

Gantikan -12 dengan y dalam x=-\frac{2}{3}y+1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{2}{3}\left(-12\right)+1$$

Darabkan -\frac{2}{3} kali -12.

$$x=8+1$$

Tambahkan 1 pada 8.

$$x=9$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=9,y=-12$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x+2y=3,x-y=21$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\21\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&2\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\21\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\21\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\21\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-2}&-\frac{2}{3\left(-1\right)-2}\\-\frac{1}{3\left(-1\right)-2}&\frac{3}{3\left(-1\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\21\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\21\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 3+\frac{2}{5}\times 21\\\frac{1}{5}\times 3-\frac{3}{5}\times 21\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-12\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=9,y=-12$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x+2y=3,x-y=21$$

Untuk menjadikan 3x dan x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$3x+2y=3,3x+3\left(-1\right)y=3\times 21$$

Permudahkan.

$$3x+2y=3,3x-3y=63$$

Tolak 3x-3y=63 daripada 3x+2y=3 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$3x-3x+2y+3y=3-63$$

Tambahkan 3x pada -3x. Seubtan 3x dan -3x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$2y+3y=3-63$$

Tambahkan 2y pada 3y.

$$5y=3-63$$

Tambahkan 3 pada -63.

$$5y=-60$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$y=-12$$

Gantikan -12 dengan y dalam x-y=21. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x-\left(-12\right)=21$$

Tolak 12 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=9$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=9,y=-12$$