Selesaikan {l}{3x+2y=16}{4x+1y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 16 } \\ { 4 x + 1 y = 10 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=\frac{4}{5}=0.8$$

$$y = \frac{34}{5} = 6\frac{4}{5} = 6.8$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x+2y=16,4x+y=10$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x+2y=16$$

Tolak 2y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=-2y+16$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+16\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali -2y+16.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{16}{3}$$

Gantikan \frac{-2y+16}{3} dengan x dalam persamaan lain, 4x+y=10.

$$4\left(-\frac{2}{3}y+\frac{16}{3}\right)+y=10$$

Darabkan 4 kali \frac{-2y+16}{3}.

$$-\frac{8}{3}y+\frac{64}{3}+y=10$$

Tambahkan -\frac{8y}{3} pada y.

$$-\frac{5}{3}y+\frac{64}{3}=10$$

Tolak \frac{64}{3} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{5}{3}y=-\frac{34}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{5}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{34}{5}$$

Gantikan \frac{34}{5} dengan y dalam x=-\frac{2}{3}y+\frac{16}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{34}{5}+\frac{16}{3}$$

Darabkan -\frac{2}{3} dengan \frac{34}{5} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{68}{15}+\frac{16}{3}$$

Tambahkan \frac{16}{3} pada -\frac{68}{15} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{4}{5}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{4}{5},y=\frac{34}{5}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x+2y=16,4x+y=10$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\10\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&2\\4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\10\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\10\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\10\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-2\times 4}&-\frac{2}{3-2\times 4}\\-\frac{4}{3-2\times 4}&\frac{3}{3-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\10\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\\\frac{4}{5}&-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\10\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\times 16+\frac{2}{5}\times 10\\\frac{4}{5}\times 16-\frac{3}{5}\times 10\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}\\\frac{34}{5}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{4}{5},y=\frac{34}{5}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x+2y=16,4x+y=10$$

Untuk menjadikan 3x dan 4x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 4 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$4\times 3x+4\times 2y=4\times 16,3\times 4x+3y=3\times 10$$

Permudahkan.

$$12x+8y=64,12x+3y=30$$

Tolak 12x+3y=30 daripada 12x+8y=64 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$12x-12x+8y-3y=64-30$$

Tambahkan 12x pada -12x. Seubtan 12x dan -12x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$8y-3y=64-30$$

Tambahkan 8y pada -3y.

$$5y=64-30$$

Tambahkan 64 pada -30.

$$5y=34$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$y=\frac{34}{5}$$

Gantikan \frac{34}{5} dengan y dalam 4x+y=10. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$4x+\frac{34}{5}=10$$

Tolak \frac{34}{5} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=\frac{16}{5}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=\frac{4}{5}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{4}{5},y=\frac{34}{5}$$