Selesaikan {l}{3x+2y=12}{4x-y=11}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 12 } \\ { 4 x - y = 11 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{34}{11} = 3\frac{1}{11} \approx 3.090909091$$

$$y = \frac{15}{11} = 1\frac{4}{11} \approx 1.363636364$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x+2y=12,4x-y=11$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x+2y=12$$

Tolak 2y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=-2y+12$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+12\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali -2y+12.

$$x=-\frac{2}{3}y+4$$

Gantikan -\frac{2y}{3}+4 dengan x dalam persamaan lain, 4x-y=11.

$$4\left(-\frac{2}{3}y+4\right)-y=11$$

Darabkan 4 kali -\frac{2y}{3}+4.

$$-\frac{8}{3}y+16-y=11$$

Tambahkan -\frac{8y}{3} pada -y.

$$-\frac{11}{3}y+16=11$$

Tolak 16 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{11}{3}y=-5$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{11}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{15}{11}$$

Gantikan \frac{15}{11} dengan y dalam x=-\frac{2}{3}y+4. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{15}{11}+4$$

Darabkan -\frac{2}{3} dengan \frac{15}{11} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{10}{11}+4$$

Tambahkan 4 pada -\frac{10}{11}.

$$x=\frac{34}{11}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{34}{11},y=\frac{15}{11}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x+2y=12,4x-y=11$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\11\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&2\\4&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\11\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\11\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\11\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-2\times 4}&-\frac{2}{3\left(-1\right)-2\times 4}\\-\frac{4}{3\left(-1\right)-2\times 4}&\frac{3}{3\left(-1\right)-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\11\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{2}{11}\\\frac{4}{11}&-\frac{3}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\11\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 12+\frac{2}{11}\times 11\\\frac{4}{11}\times 12-\frac{3}{11}\times 11\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{34}{11}\\\frac{15}{11}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{34}{11},y=\frac{15}{11}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x+2y=12,4x-y=11$$

Untuk menjadikan 3x dan 4x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 4 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$4\times 3x+4\times 2y=4\times 12,3\times 4x+3\left(-1\right)y=3\times 11$$

Permudahkan.

$$12x+8y=48,12x-3y=33$$

Tolak 12x-3y=33 daripada 12x+8y=48 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$12x-12x+8y+3y=48-33$$

Tambahkan 12x pada -12x. Seubtan 12x dan -12x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$8y+3y=48-33$$

Tambahkan 8y pada 3y.

$$11y=48-33$$

Tambahkan 48 pada -33.

$$11y=15$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 11.

$$y=\frac{15}{11}$$

Gantikan \frac{15}{11} dengan y dalam 4x-y=11. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$4x-\frac{15}{11}=11$$

Tambahkan \frac{15}{11} pada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=\frac{136}{11}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=\frac{34}{11}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{34}{11},y=\frac{15}{11}$$