Selesaikan {l}{3x+2y=-10}{2x-10y=-1}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = - 10 } \\ { 2 x - 10 y = - 1 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-3$$

$$y=-\frac{1}{2}=-0.5$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x+2y=-10,2x-10y=-1$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x+2y=-10$$

Tolak 2y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=-2y-10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y-10\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali -2y-10.

$$x=-\frac{2}{3}y-\frac{10}{3}$$

Gantikan \frac{-2y-10}{3} dengan x dalam persamaan lain, 2x-10y=-1.

$$2\left(-\frac{2}{3}y-\frac{10}{3}\right)-10y=-1$$

Darabkan 2 kali \frac{-2y-10}{3}.

$$-\frac{4}{3}y-\frac{20}{3}-10y=-1$$

Tambahkan -\frac{4y}{3} pada -10y.

$$-\frac{34}{3}y-\frac{20}{3}=-1$$

Tambahkan \frac{20}{3} pada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{34}{3}y=\frac{17}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{34}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-\frac{1}{2}$$

Gantikan -\frac{1}{2} dengan y dalam x=-\frac{2}{3}y-\frac{10}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{2}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)-\frac{10}{3}$$

Darabkan -\frac{2}{3} dengan -\frac{1}{2} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{1-10}{3}$$

Tambahkan -\frac{10}{3} pada \frac{1}{3} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-3,y=-\frac{1}{2}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x+2y=-10,2x-10y=-1$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\2&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\-1\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&2\\2&-10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\2&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-1\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-1\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{3\left(-10\right)-2\times 2}&-\frac{2}{3\left(-10\right)-2\times 2}\\-\frac{2}{3\left(-10\right)-2\times 2}&\frac{3}{3\left(-10\right)-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-1\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{17}&\frac{1}{17}\\\frac{1}{17}&-\frac{3}{34}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{17}\left(-10\right)+\frac{1}{17}\left(-1\right)\\\frac{1}{17}\left(-10\right)-\frac{3}{34}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-3,y=-\frac{1}{2}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x+2y=-10,2x-10y=-1$$

Untuk menjadikan 3x dan 2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$2\times 3x+2\times 2y=2\left(-10\right),3\times 2x+3\left(-10\right)y=3\left(-1\right)$$

Permudahkan.

$$6x+4y=-20,6x-30y=-3$$

Tolak 6x-30y=-3 daripada 6x+4y=-20 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$6x-6x+4y+30y=-20+3$$

Tambahkan 6x pada -6x. Seubtan 6x dan -6x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$4y+30y=-20+3$$

Tambahkan 4y pada 30y.

$$34y=-20+3$$

Tambahkan -20 pada 3.

$$34y=-17$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 34.

$$y=-\frac{1}{2}$$

Gantikan -\frac{1}{2} dengan y dalam 2x-10y=-1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$2x-10\left(-\frac{1}{2}\right)=-1$$

Darabkan -10 kali -\frac{1}{2}.

$$2x+5=-1$$

Tolak 5 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=-3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-3,y=-\frac{1}{2}$$