Selesaikan {l}{3x+10y=11}{-10x-8y=14}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 10 y = 11 } \\ { - 10 x - 8 y = 14 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-3$$

$$y=2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x+10y=11,-10x-8y=14$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x+10y=11$$

Tolak 10y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=-10y+11$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-10y+11\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali -10y+11.

$$x=-\frac{10}{3}y+\frac{11}{3}$$

Gantikan \frac{-10y+11}{3} dengan x dalam persamaan lain, -10x-8y=14.

$$-10\left(-\frac{10}{3}y+\frac{11}{3}\right)-8y=14$$

Darabkan -10 kali \frac{-10y+11}{3}.

$$\frac{100}{3}y-\frac{110}{3}-8y=14$$

Tambahkan \frac{100y}{3} pada -8y.

$$\frac{76}{3}y-\frac{110}{3}=14$$

Tambahkan \frac{110}{3} pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{76}{3}y=\frac{152}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{76}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam x=-\frac{10}{3}y+\frac{11}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{10}{3}\times 2+\frac{11}{3}$$

Darabkan -\frac{10}{3} kali 2.

$$x=\frac{-20+11}{3}$$

Tambahkan \frac{11}{3} pada -\frac{20}{3} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-3,y=2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x+10y=11,-10x-8y=14$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&10\\-10&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\14\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&10\\-10&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-10&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&10\\-10&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-10&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\14\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-10&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\14\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-10&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\14\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{3\left(-8\right)-10\left(-10\right)}&-\frac{10}{3\left(-8\right)-10\left(-10\right)}\\-\frac{-10}{3\left(-8\right)-10\left(-10\right)}&\frac{3}{3\left(-8\right)-10\left(-10\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\14\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{19}&-\frac{5}{38}\\\frac{5}{38}&\frac{3}{76}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\14\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{19}\times 11-\frac{5}{38}\times 14\\\frac{5}{38}\times 11+\frac{3}{76}\times 14\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-3,y=2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x+10y=11,-10x-8y=14$$

Untuk menjadikan 3x dan -10x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -10 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$-10\times 3x-10\times 10y=-10\times 11,3\left(-10\right)x+3\left(-8\right)y=3\times 14$$

Permudahkan.

$$-30x-100y=-110,-30x-24y=42$$

Tolak -30x-24y=42 daripada -30x-100y=-110 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-30x+30x-100y+24y=-110-42$$

Tambahkan -30x pada 30x. Seubtan -30x dan 30x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-100y+24y=-110-42$$

Tambahkan -100y pada 24y.

$$-76y=-110-42$$

Tambahkan -110 pada -42.

$$-76y=-152$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -76.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam -10x-8y=14. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-10x-8\times 2=14$$

Darabkan -8 kali 2.

$$-10x-16=14$$

Tambahkan 16 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-10x=30$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -10.

$$x=-3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-3,y=2$$