Selesaikan {l}{3w-2z=5}{w+2z=15}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 w - 2 z = 5 } \\ { w + 2 z = 15 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk w, z

$$z=5$$

$$w=5$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3w-2z=5,w+2z=15$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk w dengan mengasingkan w di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3w-2z=5$$

Tambahkan 2z pada kedua-dua belah persamaan.

$$3w=2z+5$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$w=\frac{1}{3}\left(2z+5\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali 2z+5.

$$w=\frac{2}{3}z+\frac{5}{3}$$

Gantikan \frac{2z+5}{3} dengan w dalam persamaan lain, w+2z=15.

$$\frac{2}{3}z+\frac{5}{3}+2z=15$$

Tambahkan \frac{2z}{3} pada 2z.

$$\frac{8}{3}z+\frac{5}{3}=15$$

Tolak \frac{5}{3} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{8}{3}z=\frac{40}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{8}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$z=5$$

Gantikan 5 dengan z dalam w=\frac{2}{3}z+\frac{5}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk w.

$$w=\frac{2}{3}\times 5+\frac{5}{3}$$

Darabkan \frac{2}{3} kali 5.

$$w=\frac{10+5}{3}$$

Tambahkan \frac{5}{3} pada \frac{10}{3} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$w=5$$

Sistem kini diselesaikan.

$$w=5,z=5$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3w-2z=5,w+2z=15$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{3\times 2-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{3\times 2-\left(-2\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{8}&\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{4}\times 15\\-\frac{1}{8}\times 5+\frac{3}{8}\times 15\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks w dan z.

$$w=5,z=5$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3w-2z=5,w+2z=15$$

Untuk menjadikan 3w dan w sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$3w-2z=5,3w+3\times 2z=3\times 15$$

Permudahkan.

$$3w-2z=5,3w+6z=45$$

Tolak 3w+6z=45 daripada 3w-2z=5 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$3w-3w-2z-6z=5-45$$

Tambahkan 3w pada -3w. Seubtan 3w dan -3w saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-2z-6z=5-45$$

Tambahkan -2z pada -6z.

$$-8z=5-45$$

Tambahkan 5 pada -45.

$$-8z=-40$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -8.

$$z=5$$

Gantikan 5 dengan z dalam w+2z=15. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk w.

$$w+2\times 5=15$$

Darabkan 2 kali 5.

$$w+10=15$$

Tolak 10 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$w=5$$

Sistem kini diselesaikan.

$$w=5,z=5$$