Selesaikan {l}{3u+5x=8}{5u+5x=14}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 u + 5 x = 8 } \\ { 5 u + 5 x = 14 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk u, x

$$x=-\frac{1}{5}=-0.2$$

$$u=3$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3u+5x=8,5u+5x=14$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk u dengan mengasingkan u di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3u+5x=8$$

Tolak 5x daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3u=-5x+8$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$u=\frac{1}{3}\left(-5x+8\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali -5x+8.

$$u=-\frac{5}{3}x+\frac{8}{3}$$

Gantikan \frac{-5x+8}{3} dengan u dalam persamaan lain, 5u+5x=14.

$$5\left(-\frac{5}{3}x+\frac{8}{3}\right)+5x=14$$

Darabkan 5 kali \frac{-5x+8}{3}.

$$-\frac{25}{3}x+\frac{40}{3}+5x=14$$

Tambahkan -\frac{25x}{3} pada 5x.

$$-\frac{10}{3}x+\frac{40}{3}=14$$

Tolak \frac{40}{3} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{10}{3}x=\frac{2}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{10}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$x=-\frac{1}{5}$$

Gantikan -\frac{1}{5} dengan x dalam u=-\frac{5}{3}x+\frac{8}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk u.

$$u=-\frac{5}{3}\left(-\frac{1}{5}\right)+\frac{8}{3}$$

Darabkan -\frac{5}{3} dengan -\frac{1}{5} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$u=\frac{1+8}{3}$$

Tambahkan \frac{8}{3} pada \frac{1}{3} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$u=3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$u=3,x=-\frac{1}{5}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3u+5x=8,5u+5x=14$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3\times 5-5\times 5}&-\frac{5}{3\times 5-5\times 5}\\-\frac{5}{3\times 5-5\times 5}&\frac{3}{3\times 5-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 8+\frac{1}{2}\times 14\\\frac{1}{2}\times 8-\frac{3}{10}\times 14\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks u dan x.

$$u=3,x=-\frac{1}{5}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3u+5x=8,5u+5x=14$$

Tolak 5u+5x=14 daripada 3u+5x=8 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$3u-5u+5x-5x=8-14$$

Tambahkan 5x pada -5x. Seubtan 5x dan -5x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$3u-5u=8-14$$

Tambahkan 3u pada -5u.

$$-2u=8-14$$

Tambahkan 8 pada -14.

$$-2u=-6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -2.

$$u=3$$

Gantikan 3 dengan u dalam 5u+5x=14. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$5\times 3+5x=14$$

Darabkan 5 kali 3.

$$15+5x=14$$

Tolak 15 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=-1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=-\frac{1}{5}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$u=3,x=-\frac{1}{5}$$