Selesaikan {l}{3p+4q=3}{1/2+q=3p}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 p + 4 q = 3 } \\ { \frac { 1 } { 2 } + q = 3 p } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk p, q

$$p=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$q=\frac{1}{2}=0.5$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 3p daripada kedua-dua belah.

$$\frac{1}{2}+q-3p=0$$

Tolak \frac{1}{2} daripada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditolak daripada sifar menjadikannya negatif.

$$q-3p=-\frac{1}{2}$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3p+4q=3,-3p+q=-\frac{1}{2}$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk p dengan mengasingkan p di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3p+4q=3$$

Tolak 4q daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3p=-4q+3$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$p=\frac{1}{3}\left(-4q+3\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali -4q+3.

$$p=-\frac{4}{3}q+1$$

Gantikan -\frac{4q}{3}+1 dengan p dalam persamaan lain, -3p+q=-\frac{1}{2}.

$$-3\left(-\frac{4}{3}q+1\right)+q=-\frac{1}{2}$$

Darabkan -3 kali -\frac{4q}{3}+1.

$$4q-3+q=-\frac{1}{2}$$

Tambahkan 4q pada q.

$$5q-3=-\frac{1}{2}$$

Tambahkan 3 pada kedua-dua belah persamaan.

$$5q=\frac{5}{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$q=\frac{1}{2}$$

Gantikan \frac{1}{2} dengan q dalam p=-\frac{4}{3}q+1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk p.

$$p=-\frac{4}{3}\times \frac{1}{2}+1$$

Darabkan -\frac{4}{3} dengan \frac{1}{2} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$p=-\frac{2}{3}+1$$

Tambahkan 1 pada -\frac{2}{3}.

$$p=\frac{1}{3}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$p=\frac{1}{3},q=\frac{1}{2}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 3p daripada kedua-dua belah.

$$\frac{1}{2}+q-3p=0$$

Tolak \frac{1}{2} daripada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditolak daripada sifar menjadikannya negatif.

$$q-3p=-\frac{1}{2}$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3p+4q=3,-3p+q=-\frac{1}{2}$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&4\\-3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-4\left(-3\right)}&-\frac{4}{3-4\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{3-4\left(-3\right)}&\frac{3}{3-4\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}&-\frac{4}{15}\\\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}\times 3-\frac{4}{15}\left(-\frac{1}{2}\right)\\\frac{1}{5}\times 3+\frac{1}{5}\left(-\frac{1}{2}\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks p dan q.

$$p=\frac{1}{3},q=\frac{1}{2}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 3p daripada kedua-dua belah.

$$\frac{1}{2}+q-3p=0$$

Tolak \frac{1}{2} daripada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditolak daripada sifar menjadikannya negatif.

$$q-3p=-\frac{1}{2}$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3p+4q=3,-3p+q=-\frac{1}{2}$$

Untuk menjadikan 3p dan -3p sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$-3\times 3p-3\times 4q=-3\times 3,3\left(-3\right)p+3q=3\left(-\frac{1}{2}\right)$$

Permudahkan.

$$-9p-12q=-9,-9p+3q=-\frac{3}{2}$$

Tolak -9p+3q=-\frac{3}{2} daripada -9p-12q=-9 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-9p+9p-12q-3q=-9+\frac{3}{2}$$

Tambahkan -9p pada 9p. Seubtan -9p dan 9p saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-12q-3q=-9+\frac{3}{2}$$

Tambahkan -12q pada -3q.

$$-15q=-9+\frac{3}{2}$$

Tambahkan -9 pada \frac{3}{2}.

$$-15q=-\frac{15}{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -15.

$$q=\frac{1}{2}$$

Gantikan \frac{1}{2} dengan q dalam -3p+q=-\frac{1}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk p.

$$-3p+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}$$

Tolak \frac{1}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-3p=-1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$p=\frac{1}{3}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$p=\frac{1}{3},q=\frac{1}{2}$$