Selesaikan {l}{3c+5z=-15}{5c+3z=-9}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 c + 5 z = - 15 } \\ { 5 c + 3 z = - 9 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk c, z

$$z=-3$$

$$c=0$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3c+5z=-15,5c+3z=-9$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk c dengan mengasingkan c di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3c+5z=-15$$

Tolak 5z daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3c=-5z-15$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$c=\frac{1}{3}\left(-5z-15\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali -5z-15.

$$c=-\frac{5}{3}z-5$$

Gantikan -\frac{5z}{3}-5 dengan c dalam persamaan lain, 5c+3z=-9.

$$5\left(-\frac{5}{3}z-5\right)+3z=-9$$

Darabkan 5 kali -\frac{5z}{3}-5.

$$-\frac{25}{3}z-25+3z=-9$$

Tambahkan -\frac{25z}{3} pada 3z.

$$-\frac{16}{3}z-25=-9$$

Tambahkan 25 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{16}{3}z=16$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{16}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$z=-3$$

Gantikan -3 dengan z dalam c=-\frac{5}{3}z-5. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk c.

$$c=-\frac{5}{3}\left(-3\right)-5$$

Darabkan -\frac{5}{3} kali -3.

$$c=5-5$$

Tambahkan -5 pada 5.

$$c=0$$

Sistem kini diselesaikan.

$$c=0,z=-3$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3c+5z=-15,5c+3z=-9$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-5\times 5}&-\frac{5}{3\times 3-5\times 5}\\-\frac{5}{3\times 3-5\times 5}&\frac{3}{3\times 3-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{16}&\frac{5}{16}\\\frac{5}{16}&-\frac{3}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{16}\left(-15\right)+\frac{5}{16}\left(-9\right)\\\frac{5}{16}\left(-15\right)-\frac{3}{16}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks c dan z.

$$c=0,z=-3$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3c+5z=-15,5c+3z=-9$$

Untuk menjadikan 3c dan 5c sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 5 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$5\times 3c+5\times 5z=5\left(-15\right),3\times 5c+3\times 3z=3\left(-9\right)$$

Permudahkan.

$$15c+25z=-75,15c+9z=-27$$

Tolak 15c+9z=-27 daripada 15c+25z=-75 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$15c-15c+25z-9z=-75+27$$

Tambahkan 15c pada -15c. Seubtan 15c dan -15c saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$25z-9z=-75+27$$

Tambahkan 25z pada -9z.

$$16z=-75+27$$

Tambahkan -75 pada 27.

$$16z=-48$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 16.

$$z=-3$$

Gantikan -3 dengan z dalam 5c+3z=-9. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk c.

$$5c+3\left(-3\right)=-9$$

Darabkan 3 kali -3.

$$5c-9=-9$$

Tambahkan 9 pada kedua-dua belah persamaan.

$$5c=0$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$c=0$$

Sistem kini diselesaikan.

$$c=0,z=-3$$