Selesaikan {l}{3a+b=-3}{2a-b=-1}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 a + b = - 3 } \\ { 2 a - b = - 1 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk a, b

$$a=-\frac{4}{5}=-0.8$$

$$b=-\frac{3}{5}=-0.6$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3a+b=-3,2a-b=-1$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk a dengan mengasingkan a di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3a+b=-3$$

Tolak b daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3a=-b-3$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$a=\frac{1}{3}\left(-b-3\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali -b-3.

$$a=-\frac{1}{3}b-1$$

Gantikan -\frac{b}{3}-1 dengan a dalam persamaan lain, 2a-b=-1.

$$2\left(-\frac{1}{3}b-1\right)-b=-1$$

Darabkan 2 kali -\frac{b}{3}-1.

$$-\frac{2}{3}b-2-b=-1$$

Tambahkan -\frac{2b}{3} pada -b.

$$-\frac{5}{3}b-2=-1$$

Tambahkan 2 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{5}{3}b=1$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{5}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$b=-\frac{3}{5}$$

Gantikan -\frac{3}{5} dengan b dalam a=-\frac{1}{3}b-1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk a.

$$a=-\frac{1}{3}\left(-\frac{3}{5}\right)-1$$

Darabkan -\frac{1}{3} dengan -\frac{3}{5} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$a=\frac{1}{5}-1$$

Tambahkan -1 pada \frac{1}{5}.

$$a=-\frac{4}{5}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$a=-\frac{4}{5},b=-\frac{3}{5}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3a+b=-3,2a-b=-1$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-2}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-2}\\-\frac{2}{3\left(-1\right)-2}&\frac{3}{3\left(-1\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\left(-3\right)+\frac{1}{5}\left(-1\right)\\\frac{2}{5}\left(-3\right)-\frac{3}{5}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{5}\\-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks a dan b.

$$a=-\frac{4}{5},b=-\frac{3}{5}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3a+b=-3,2a-b=-1$$

Untuk menjadikan 3a dan 2a sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$2\times 3a+2b=2\left(-3\right),3\times 2a+3\left(-1\right)b=3\left(-1\right)$$

Permudahkan.

$$6a+2b=-6,6a-3b=-3$$

Tolak 6a-3b=-3 daripada 6a+2b=-6 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$6a-6a+2b+3b=-6+3$$

Tambahkan 6a pada -6a. Seubtan 6a dan -6a saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$2b+3b=-6+3$$

Tambahkan 2b pada 3b.

$$5b=-6+3$$

Tambahkan -6 pada 3.

$$5b=-3$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$b=-\frac{3}{5}$$

Gantikan -\frac{3}{5} dengan b dalam 2a-b=-1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk a.

$$2a-\left(-\frac{3}{5}\right)=-1$$

Tolak \frac{3}{5} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2a=-\frac{8}{5}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$a=-\frac{4}{5}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$a=-\frac{4}{5},b=-\frac{3}{5}$$