Selesaikan {l}{3A-13c=-255}{31A-6c=-180}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 A - 13 c = - 255 } \\ { 31 A - 6 c = - 180 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk A, c

$$A = -\frac{162}{77} = -2\frac{8}{77} \approx -2.103896104$$

$$c = \frac{1473}{77} = 19\frac{10}{77} \approx 19.12987013$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3A-13c=-255,31A-6c=-180$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk A dengan mengasingkan A di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3A-13c=-255$$

Tambahkan 13c pada kedua-dua belah persamaan.

$$3A=13c-255$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$A=\frac{1}{3}\left(13c-255\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali 13c-255.

$$A=\frac{13}{3}c-85$$

Gantikan \frac{13c}{3}-85 dengan A dalam persamaan lain, 31A-6c=-180.

$$31\left(\frac{13}{3}c-85\right)-6c=-180$$

Darabkan 31 kali \frac{13c}{3}-85.

$$\frac{403}{3}c-2635-6c=-180$$

Tambahkan \frac{403c}{3} pada -6c.

$$\frac{385}{3}c-2635=-180$$

Tambahkan 2635 pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{385}{3}c=2455$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{385}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$c=\frac{1473}{77}$$

Gantikan \frac{1473}{77} dengan c dalam A=\frac{13}{3}c-85. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk A.

$$A=\frac{13}{3}\times \frac{1473}{77}-85$$

Darabkan \frac{13}{3} dengan \frac{1473}{77} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$A=\frac{6383}{77}-85$$

Tambahkan -85 pada \frac{6383}{77}.

$$A=-\frac{162}{77}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$A=-\frac{162}{77},c=\frac{1473}{77}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3A-13c=-255,31A-6c=-180$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{3\left(-6\right)-\left(-13\times 31\right)}&-\frac{-13}{3\left(-6\right)-\left(-13\times 31\right)}\\-\frac{31}{3\left(-6\right)-\left(-13\times 31\right)}&\frac{3}{3\left(-6\right)-\left(-13\times 31\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{385}&\frac{13}{385}\\-\frac{31}{385}&\frac{3}{385}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{385}\left(-255\right)+\frac{13}{385}\left(-180\right)\\-\frac{31}{385}\left(-255\right)+\frac{3}{385}\left(-180\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{162}{77}\\\frac{1473}{77}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks A dan c.

$$A=-\frac{162}{77},c=\frac{1473}{77}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3A-13c=-255,31A-6c=-180$$

Untuk menjadikan 3A dan 31A sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 31 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$31\times 3A+31\left(-13\right)c=31\left(-255\right),3\times 31A+3\left(-6\right)c=3\left(-180\right)$$

Permudahkan.

$$93A-403c=-7905,93A-18c=-540$$

Tolak 93A-18c=-540 daripada 93A-403c=-7905 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$93A-93A-403c+18c=-7905+540$$

Tambahkan 93A pada -93A. Seubtan 93A dan -93A saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-403c+18c=-7905+540$$

Tambahkan -403c pada 18c.

$$-385c=-7905+540$$

Tambahkan -7905 pada 540.

$$-385c=-7365$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -385.

$$c=\frac{1473}{77}$$

Gantikan \frac{1473}{77} dengan c dalam 31A-6c=-180. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk A.

$$31A-6\times \frac{1473}{77}=-180$$

Darabkan -6 kali \frac{1473}{77}.

$$31A-\frac{8838}{77}=-180$$

Tambahkan \frac{8838}{77} pada kedua-dua belah persamaan.

$$31A=-\frac{5022}{77}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 31.

$$A=-\frac{162}{77}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$A=-\frac{162}{77},c=\frac{1473}{77}$$