Selesaikan {l}{3/2x+6y=19/8}{1/2x-9y=-23/8}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 / 2 x + 6 y = \frac { 19 } { 8 } } \\ { 1 / 2 x - 9 y = \frac { - 23 } { 8 } } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

$$y=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$\frac{3}{2}x+6y=\frac{19}{8},\frac{1}{2}x-9y=-\frac{23}{8}$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\frac{3}{2}x+6y=\frac{19}{8}$$

Tolak 6y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{3}{2}x=-6y+\frac{19}{8}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{3}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$x=\frac{2}{3}\left(-6y+\frac{19}{8}\right)$$

Darabkan \frac{2}{3} kali -6y+\frac{19}{8}.

$$x=-4y+\frac{19}{12}$$

Gantikan -4y+\frac{19}{12} dengan x dalam persamaan lain, \frac{1}{2}x-9y=-\frac{23}{8}.

$$\frac{1}{2}\left(-4y+\frac{19}{12}\right)-9y=-\frac{23}{8}$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -4y+\frac{19}{12}.

$$-2y+\frac{19}{24}-9y=-\frac{23}{8}$$

Tambahkan -2y pada -9y.

$$-11y+\frac{19}{24}=-\frac{23}{8}$$

Tolak \frac{19}{24} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-11y=-\frac{11}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -11.

$$y=\frac{1}{3}$$

Gantikan \frac{1}{3} dengan y dalam x=-4y+\frac{19}{12}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-4\times \frac{1}{3}+\frac{19}{12}$$

Darabkan -4 kali \frac{1}{3}.

$$x=-\frac{4}{3}+\frac{19}{12}$$

Tambahkan \frac{19}{12} pada -\frac{4}{3} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{1}{4}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{1}{4},y=\frac{1}{3}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$\frac{3}{2}x+6y=\frac{19}{8},\frac{1}{2}x-9y=-\frac{23}{8}$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&6\\\frac{1}{2}&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{8}\\-\frac{23}{8}\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&6\\\frac{1}{2}&-9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&6\\\frac{1}{2}&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&6\\\frac{1}{2}&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&6\\\frac{1}{2}&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{19}{8}\\-\frac{23}{8}\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&6\\\frac{1}{2}&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{19}{8}\\-\frac{23}{8}\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&6\\\frac{1}{2}&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{19}{8}\\-\frac{23}{8}\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{\frac{3}{2}\left(-9\right)-6\times \frac{1}{2}}&-\frac{6}{\frac{3}{2}\left(-9\right)-6\times \frac{1}{2}}\\-\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}\left(-9\right)-6\times \frac{1}{2}}&\frac{\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}\left(-9\right)-6\times \frac{1}{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{19}{8}\\-\frac{23}{8}\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{11}&\frac{4}{11}\\\frac{1}{33}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{19}{8}\\-\frac{23}{8}\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{11}\times \frac{19}{8}+\frac{4}{11}\left(-\frac{23}{8}\right)\\\frac{1}{33}\times \frac{19}{8}-\frac{1}{11}\left(-\frac{23}{8}\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{1}{4},y=\frac{1}{3}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$\frac{3}{2}x+6y=\frac{19}{8},\frac{1}{2}x-9y=-\frac{23}{8}$$

Untuk menjadikan \frac{3x}{2} dan \frac{x}{2} sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan \frac{1}{2} dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan \frac{3}{2}.

$$\frac{1}{2}\times \frac{3}{2}x+\frac{1}{2}\times 6y=\frac{1}{2}\times \frac{19}{8},\frac{3}{2}\times \frac{1}{2}x+\frac{3}{2}\left(-9\right)y=\frac{3}{2}\left(-\frac{23}{8}\right)$$

Permudahkan.

$$\frac{3}{4}x+3y=\frac{19}{16},\frac{3}{4}x-\frac{27}{2}y=-\frac{69}{16}$$

Tolak \frac{3}{4}x-\frac{27}{2}y=-\frac{69}{16} daripada \frac{3}{4}x+3y=\frac{19}{16} dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}x+3y+\frac{27}{2}y=\frac{19+69}{16}$$

Tambahkan \frac{3x}{4} pada -\frac{3x}{4}. Seubtan \frac{3x}{4} dan -\frac{3x}{4} saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$3y+\frac{27}{2}y=\frac{19+69}{16}$$

Tambahkan 3y pada \frac{27y}{2}.

$$\frac{33}{2}y=\frac{19+69}{16}$$

Tambahkan \frac{19}{16} pada \frac{69}{16} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$\frac{33}{2}y=\frac{11}{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{33}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{1}{3}$$

Gantikan \frac{1}{3} dengan y dalam \frac{1}{2}x-9y=-\frac{23}{8}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$\frac{1}{2}x-9\times \frac{1}{3}=-\frac{23}{8}$$

Darabkan -9 kali \frac{1}{3}.

$$\frac{1}{2}x-3=-\frac{23}{8}$$

Tambahkan 3 pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{1}{2}x=\frac{1}{8}$$

Darabkan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{4}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{1}{4},y=\frac{1}{3}$$