Selesaikan {l}{25x+y=9}{1.6x+0.2y=13}

$$\left. \begin{array} { l } { 25 x + y = 9 } \\ { 1.6 x + 0.2 y = 13 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = -\frac{56}{17} = -3\frac{5}{17} \approx -3.294117647$$

$$y = \frac{1553}{17} = 91\frac{6}{17} \approx 91.352941176$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$25x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$25x+y=9$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$25x=-y+9$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 25.

$$x=\frac{1}{25}\left(-y+9\right)$$

Darabkan \frac{1}{25} kali -y+9.

$$x=-\frac{1}{25}y+\frac{9}{25}$$

Gantikan \frac{-y+9}{25} dengan x dalam persamaan lain, 1.6x+0.2y=13.

$$1.6\left(-\frac{1}{25}y+\frac{9}{25}\right)+0.2y=13$$

Darabkan 1.6 kali \frac{-y+9}{25}.

$$-\frac{8}{125}y+\frac{72}{125}+0.2y=13$$

Tambahkan -\frac{8y}{125} pada \frac{y}{5}.

$$\frac{17}{125}y+\frac{72}{125}=13$$

Tolak \frac{72}{125} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{17}{125}y=\frac{1553}{125}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{17}{125} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{1553}{17}$$

Gantikan \frac{1553}{17} dengan y dalam x=-\frac{1}{25}y+\frac{9}{25}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{1}{25}\times \frac{1553}{17}+\frac{9}{25}$$

Darabkan -\frac{1}{25} dengan \frac{1553}{17} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{1553}{425}+\frac{9}{25}$$

Tambahkan \frac{9}{25} pada -\frac{1553}{425} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{56}{17}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{56}{17},y=\frac{1553}{17}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$25x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}25&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}25&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}25&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.2}{25\times 0.2-1.6}&-\frac{1}{25\times 0.2-1.6}\\-\frac{1.6}{25\times 0.2-1.6}&\frac{25}{25\times 0.2-1.6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}&-\frac{5}{17}\\-\frac{8}{17}&\frac{125}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}\times 9-\frac{5}{17}\times 13\\-\frac{8}{17}\times 9+\frac{125}{17}\times 13\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{56}{17}\\\frac{1553}{17}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-\frac{56}{17},y=\frac{1553}{17}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$25x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

Untuk menjadikan 25x dan \frac{8x}{5} sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1.6 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 25.

$$1.6\times 25x+1.6y=1.6\times 9,25\times 1.6x+25\times 0.2y=25\times 13$$

Permudahkan.

$$40x+1.6y=14.4,40x+5y=325$$

Tolak 40x+5y=325 daripada 40x+1.6y=14.4 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$40x-40x+1.6y-5y=14.4-325$$

Tambahkan 40x pada -40x. Seubtan 40x dan -40x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$1.6y-5y=14.4-325$$

Tambahkan \frac{8y}{5} pada -5y.

$$-3.4y=14.4-325$$

Tambahkan 14.4 pada -325.

$$-3.4y=-310.6$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -3.4 yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{1553}{17}$$

Gantikan \frac{1553}{17} dengan y dalam 1.6x+0.2y=13. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$1.6x+0.2\times \frac{1553}{17}=13$$

Darabkan 0.2 dengan \frac{1553}{17} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$1.6x+\frac{1553}{85}=13$$

Tolak \frac{1553}{85} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$1.6x=-\frac{448}{85}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan 1.6 yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$x=-\frac{56}{17}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{56}{17},y=\frac{1553}{17}$$