Selesaikan {l}{25c+22T=152000}{11c+12T=75000}

$$\left. \begin{array} { l } { 25 c + 22 T = 152000 } \\ { 11 c + 12 T = 75000 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk c, T

$$c=3000$$

$$T=3500$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$25c+22T=152000,11c+12T=75000$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk c dengan mengasingkan c di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$25c+22T=152000$$

Tolak 22T daripada kedua-dua belah persamaan.

$$25c=-22T+152000$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 25.

$$c=\frac{1}{25}\left(-22T+152000\right)$$

Darabkan \frac{1}{25} kali -22T+152000.

$$c=-\frac{22}{25}T+6080$$

Gantikan -\frac{22T}{25}+6080 dengan c dalam persamaan lain, 11c+12T=75000.

$$11\left(-\frac{22}{25}T+6080\right)+12T=75000$$

Darabkan 11 kali -\frac{22T}{25}+6080.

$$-\frac{242}{25}T+66880+12T=75000$$

Tambahkan -\frac{242T}{25} pada 12T.

$$\frac{58}{25}T+66880=75000$$

Tolak 66880 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{58}{25}T=8120$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{58}{25} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$T=3500$$

Gantikan 3500 dengan T dalam c=-\frac{22}{25}T+6080. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk c.

$$c=-\frac{22}{25}\times 3500+6080$$

Darabkan -\frac{22}{25} kali 3500.

$$c=-3080+6080$$

Tambahkan 6080 pada -3080.

$$c=3000$$

Sistem kini diselesaikan.

$$c=3000,T=3500$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$25c+22T=152000,11c+12T=75000$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{25\times 12-22\times 11}&-\frac{22}{25\times 12-22\times 11}\\-\frac{11}{25\times 12-22\times 11}&\frac{25}{25\times 12-22\times 11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{29}&-\frac{11}{29}\\-\frac{11}{58}&\frac{25}{58}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{29}\times 152000-\frac{11}{29}\times 75000\\-\frac{11}{58}\times 152000+\frac{25}{58}\times 75000\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3000\\3500\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks c dan T.

$$c=3000,T=3500$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$25c+22T=152000,11c+12T=75000$$

Untuk menjadikan 25c dan 11c sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 11 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 25.

$$11\times 25c+11\times 22T=11\times 152000,25\times 11c+25\times 12T=25\times 75000$$

Permudahkan.

$$275c+242T=1672000,275c+300T=1875000$$

Tolak 275c+300T=1875000 daripada 275c+242T=1672000 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$275c-275c+242T-300T=1672000-1875000$$

Tambahkan 275c pada -275c. Seubtan 275c dan -275c saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$242T-300T=1672000-1875000$$

Tambahkan 242T pada -300T.

$$-58T=1672000-1875000$$

Tambahkan 1672000 pada -1875000.

$$-58T=-203000$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -58.

$$T=3500$$

Gantikan 3500 dengan T dalam 11c+12T=75000. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk c.

$$11c+12\times 3500=75000$$

Darabkan 12 kali 3500.

$$11c+42000=75000$$

Tolak 42000 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$11c=33000$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 11.

$$c=3000$$

Sistem kini diselesaikan.

$$c=3000,T=3500$$