Selesaikan {l}{25+(1/20+1/5+1/6)x=1/6y}{(frac{1}{20}+frac{1}{5}+frac{1}{6})y=frac{1}{6}x+25}

$$\left. \begin{array} { l } { 25 + ( \frac { 1 } { 20 } + \frac { 1 } { 5 } + \frac { 1 } { 6 } ) x = \frac { 1 } { 6 } y } \\ { ( \frac { 1 } { 20 } + \frac { 1 } { 5 } + \frac { 1 } { 6 } ) y = \frac { 1 } { 6 } x + 25 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = -\frac{300}{7} = -42\frac{6}{7} \approx -42.857142857$$

$$y = \frac{300}{7} = 42\frac{6}{7} \approx 42.857142857$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tambahkan \frac{1}{20} dan \frac{1}{5} untuk dapatkan \frac{1}{4}.

$$25+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{6}\right)x=\frac{1}{6}y$$

Tambahkan \frac{1}{4} dan \frac{1}{6} untuk dapatkan \frac{5}{12}.

$$25+\frac{5}{12}x=\frac{1}{6}y$$

Tolak \frac{1}{6}y daripada kedua-dua belah.

$$25+\frac{5}{12}x-\frac{1}{6}y=0$$

Tolak 25 daripada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditolak daripada sifar menjadikannya negatif.

$$\frac{5}{12}x-\frac{1}{6}y=-25$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan \frac{1}{20} dan \frac{1}{5} untuk dapatkan \frac{1}{4}.

$$\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{6}\right)y=\frac{1}{6}x+25$$

Tambahkan \frac{1}{4} dan \frac{1}{6} untuk dapatkan \frac{5}{12}.

$$\frac{5}{12}y=\frac{1}{6}x+25$$

Tolak \frac{1}{6}x daripada kedua-dua belah.

$$\frac{5}{12}y-\frac{1}{6}x=25$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$\frac{5}{12}x-\frac{1}{6}y=-25,-\frac{1}{6}x+\frac{5}{12}y=25$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\frac{5}{12}x-\frac{1}{6}y=-25$$

Tambahkan \frac{y}{6} pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{5}{12}x=\frac{1}{6}y-25$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{5}{12} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$x=\frac{12}{5}\left(\frac{1}{6}y-25\right)$$

Darabkan \frac{12}{5} kali \frac{y}{6}-25.

$$x=\frac{2}{5}y-60$$

Gantikan \frac{2y}{5}-60 dengan x dalam persamaan lain, -\frac{1}{6}x+\frac{5}{12}y=25.

$$-\frac{1}{6}\left(\frac{2}{5}y-60\right)+\frac{5}{12}y=25$$

Darabkan -\frac{1}{6} kali \frac{2y}{5}-60.

$$-\frac{1}{15}y+10+\frac{5}{12}y=25$$

Tambahkan -\frac{y}{15} pada \frac{5y}{12}.

$$\frac{7}{20}y+10=25$$

Tolak 10 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{7}{20}y=15$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{7}{20} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{300}{7}$$

Gantikan \frac{300}{7} dengan y dalam x=\frac{2}{5}y-60. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{2}{5}\times \frac{300}{7}-60$$

Darabkan \frac{2}{5} dengan \frac{300}{7} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{120}{7}-60$$

Tambahkan -60 pada \frac{120}{7}.

$$x=-\frac{300}{7}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{300}{7},y=\frac{300}{7}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tambahkan \frac{1}{20} dan \frac{1}{5} untuk dapatkan \frac{1}{4}.

$$25+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{6}\right)x=\frac{1}{6}y$$

Tambahkan \frac{1}{4} dan \frac{1}{6} untuk dapatkan \frac{5}{12}.

$$25+\frac{5}{12}x=\frac{1}{6}y$$

Tolak \frac{1}{6}y daripada kedua-dua belah.

$$25+\frac{5}{12}x-\frac{1}{6}y=0$$

Tolak 25 daripada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditolak daripada sifar menjadikannya negatif.

$$\frac{5}{12}x-\frac{1}{6}y=-25$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan \frac{1}{20} dan \frac{1}{5} untuk dapatkan \frac{1}{4}.

$$\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{6}\right)y=\frac{1}{6}x+25$$

Tambahkan \frac{1}{4} dan \frac{1}{6} untuk dapatkan \frac{5}{12}.

$$\frac{5}{12}y=\frac{1}{6}x+25$$

Tolak \frac{1}{6}x daripada kedua-dua belah.

$$\frac{5}{12}y-\frac{1}{6}x=25$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$\frac{5}{12}x-\frac{1}{6}y=-25,-\frac{1}{6}x+\frac{5}{12}y=25$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}&-\frac{1}{6}\\-\frac{1}{6}&\frac{5}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-25\\25\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}\frac{5}{12}&-\frac{1}{6}\\-\frac{1}{6}&\frac{5}{12}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}&-\frac{1}{6}\\-\frac{1}{6}&\frac{5}{12}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}&-\frac{1}{6}\\-\frac{1}{6}&\frac{5}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}&-\frac{1}{6}\\-\frac{1}{6}&\frac{5}{12}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-25\\25\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}&-\frac{1}{6}\\-\frac{1}{6}&\frac{5}{12}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-25\\25\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}&-\frac{1}{6}\\-\frac{1}{6}&\frac{5}{12}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-25\\25\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{5}{12}}{\frac{5}{12}\times \frac{5}{12}-\left(-\frac{1}{6}\left(-\frac{1}{6}\right)\right)}&-\frac{-\frac{1}{6}}{\frac{5}{12}\times \frac{5}{12}-\left(-\frac{1}{6}\left(-\frac{1}{6}\right)\right)}\\-\frac{-\frac{1}{6}}{\frac{5}{12}\times \frac{5}{12}-\left(-\frac{1}{6}\left(-\frac{1}{6}\right)\right)}&\frac{\frac{5}{12}}{\frac{5}{12}\times \frac{5}{12}-\left(-\frac{1}{6}\left(-\frac{1}{6}\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-25\\25\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{7}&\frac{8}{7}\\\frac{8}{7}&\frac{20}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-25\\25\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{7}\left(-25\right)+\frac{8}{7}\times 25\\\frac{8}{7}\left(-25\right)+\frac{20}{7}\times 25\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{300}{7}\\\frac{300}{7}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-\frac{300}{7},y=\frac{300}{7}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tambahkan \frac{1}{20} dan \frac{1}{5} untuk dapatkan \frac{1}{4}.

$$25+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{6}\right)x=\frac{1}{6}y$$

Tambahkan \frac{1}{4} dan \frac{1}{6} untuk dapatkan \frac{5}{12}.

$$25+\frac{5}{12}x=\frac{1}{6}y$$

Tolak \frac{1}{6}y daripada kedua-dua belah.

$$25+\frac{5}{12}x-\frac{1}{6}y=0$$

Tolak 25 daripada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditolak daripada sifar menjadikannya negatif.

$$\frac{5}{12}x-\frac{1}{6}y=-25$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan \frac{1}{20} dan \frac{1}{5} untuk dapatkan \frac{1}{4}.

$$\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{6}\right)y=\frac{1}{6}x+25$$

Tambahkan \frac{1}{4} dan \frac{1}{6} untuk dapatkan \frac{5}{12}.

$$\frac{5}{12}y=\frac{1}{6}x+25$$

Tolak \frac{1}{6}x daripada kedua-dua belah.

$$\frac{5}{12}y-\frac{1}{6}x=25$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$\frac{5}{12}x-\frac{1}{6}y=-25,-\frac{1}{6}x+\frac{5}{12}y=25$$

Untuk menjadikan \frac{5x}{12} dan -\frac{x}{6} sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -\frac{1}{6} dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan \frac{5}{12}.

$$-\frac{1}{6}\times \frac{5}{12}x-\frac{1}{6}\left(-\frac{1}{6}\right)y=-\frac{1}{6}\left(-25\right),\frac{5}{12}\left(-\frac{1}{6}\right)x+\frac{5}{12}\times \frac{5}{12}y=\frac{5}{12}\times 25$$

Permudahkan.

$$-\frac{5}{72}x+\frac{1}{36}y=\frac{25}{6},-\frac{5}{72}x+\frac{25}{144}y=\frac{125}{12}$$

Tolak -\frac{5}{72}x+\frac{25}{144}y=\frac{125}{12} daripada -\frac{5}{72}x+\frac{1}{36}y=\frac{25}{6} dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-\frac{5}{72}x+\frac{5}{72}x+\frac{1}{36}y-\frac{25}{144}y=\frac{25}{6}-\frac{125}{12}$$

Tambahkan -\frac{5x}{72} pada \frac{5x}{72}. Seubtan -\frac{5x}{72} dan \frac{5x}{72} saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$\frac{1}{36}y-\frac{25}{144}y=\frac{25}{6}-\frac{125}{12}$$

Tambahkan \frac{y}{36} pada -\frac{25y}{144}.

$$-\frac{7}{48}y=\frac{25}{6}-\frac{125}{12}$$

Tambahkan \frac{25}{6} pada -\frac{125}{12} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$-\frac{7}{48}y=-\frac{25}{4}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{7}{48} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{300}{7}$$

Gantikan \frac{300}{7} dengan y dalam -\frac{1}{6}x+\frac{5}{12}y=25. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-\frac{1}{6}x+\frac{5}{12}\times \frac{300}{7}=25$$

Darabkan \frac{5}{12} dengan \frac{300}{7} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$-\frac{1}{6}x+\frac{125}{7}=25$$

Tolak \frac{125}{7} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{1}{6}x=\frac{50}{7}$$

Darabkan kedua-dua belah dengan -6.

$$x=-\frac{300}{7}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{300}{7},y=\frac{300}{7}$$