Selesaikan {l}{22x+y=50}{27x-y=96}

$$\left. \begin{array} { l } { 22 x + y = 50 } \\ { 27 x - y = 96 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{146}{49} = 2\frac{48}{49} \approx 2.979591837$$

$$y = -\frac{762}{49} = -15\frac{27}{49} \approx -15.551020408$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$22x+y=50,27x-y=96$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$22x+y=50$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$22x=-y+50$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 22.

$$x=\frac{1}{22}\left(-y+50\right)$$

Darabkan \frac{1}{22} kali -y+50.

$$x=-\frac{1}{22}y+\frac{25}{11}$$

Gantikan -\frac{y}{22}+\frac{25}{11} dengan x dalam persamaan lain, 27x-y=96.

$$27\left(-\frac{1}{22}y+\frac{25}{11}\right)-y=96$$

Darabkan 27 kali -\frac{y}{22}+\frac{25}{11}.

$$-\frac{27}{22}y+\frac{675}{11}-y=96$$

Tambahkan -\frac{27y}{22} pada -y.

$$-\frac{49}{22}y+\frac{675}{11}=96$$

Tolak \frac{675}{11} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{49}{22}y=\frac{381}{11}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{49}{22} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-\frac{762}{49}$$

Gantikan -\frac{762}{49} dengan y dalam x=-\frac{1}{22}y+\frac{25}{11}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{1}{22}\left(-\frac{762}{49}\right)+\frac{25}{11}$$

Darabkan -\frac{1}{22} dengan -\frac{762}{49} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{381}{539}+\frac{25}{11}$$

Tambahkan \frac{25}{11} pada \frac{381}{539} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{146}{49}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{146}{49},y=-\frac{762}{49}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$22x+y=50,27x-y=96$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}22&1\\27&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\96\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}22&1\\27&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}22&1\\27&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22&1\\27&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}22&1\\27&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\96\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}22&1\\27&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\96\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}22&1\\27&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\96\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{22\left(-1\right)-27}&-\frac{1}{22\left(-1\right)-27}\\-\frac{27}{22\left(-1\right)-27}&\frac{22}{22\left(-1\right)-27}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\96\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{49}&\frac{1}{49}\\\frac{27}{49}&-\frac{22}{49}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\96\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{49}\times 50+\frac{1}{49}\times 96\\\frac{27}{49}\times 50-\frac{22}{49}\times 96\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{146}{49}\\-\frac{762}{49}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{146}{49},y=-\frac{762}{49}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$22x+y=50,27x-y=96$$

Untuk menjadikan 22x dan 27x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 27 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 22.

$$27\times 22x+27y=27\times 50,22\times 27x+22\left(-1\right)y=22\times 96$$

Permudahkan.

$$594x+27y=1350,594x-22y=2112$$

Tolak 594x-22y=2112 daripada 594x+27y=1350 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$594x-594x+27y+22y=1350-2112$$

Tambahkan 594x pada -594x. Seubtan 594x dan -594x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$27y+22y=1350-2112$$

Tambahkan 27y pada 22y.

$$49y=1350-2112$$

Tambahkan 1350 pada -2112.

$$49y=-762$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 49.

$$y=-\frac{762}{49}$$

Gantikan -\frac{762}{49} dengan y dalam 27x-y=96. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$27x-\left(-\frac{762}{49}\right)=96$$

Tolak \frac{762}{49} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$27x=\frac{3942}{49}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 27.

$$x=\frac{146}{49}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{146}{49},y=-\frac{762}{49}$$