Selesaikan {l}{2.5x+2.5y=17}{-1.5x-7.5y=-33}

$$\left. \begin{array} { l } { 2.5 x + 2.5 y = 17 } \\ { - 1.5 x - 7.5 y = - 33 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=3$$

$$y=3.8$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2.5x+2.5y=17,-1.5x-7.5y=-33$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2.5x+2.5y=17$$

Tolak \frac{5y}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2.5x=-2.5y+17$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan 2.5 yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$x=0.4\left(-2.5y+17\right)$$

Darabkan 0.4 kali -\frac{5y}{2}+17.

$$x=-y+6.8$$

Gantikan -y+6.8 dengan x dalam persamaan lain, -1.5x-7.5y=-33.

$$-1.5\left(-y+6.8\right)-7.5y=-33$$

Darabkan -1.5 kali -y+6.8.

$$1.5y-10.2-7.5y=-33$$

Tambahkan \frac{3y}{2} pada -\frac{15y}{2}.

$$-6y-10.2=-33$$

Tambahkan 10.2 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-6y=-22.8$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -6.

$$y=3.8$$

Gantikan 3.8 dengan y dalam x=-y+6.8. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-3.8+6.8$$

Darabkan -1 kali 3.8.

$$x=\frac{-19+34}{5}$$

Tambahkan 6.8 pada -3.8 dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=3,y=3.8$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2.5x+2.5y=17,-1.5x-7.5y=-33$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2.5&2.5\\-1.5&-7.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\-33\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2.5&2.5\\-1.5&-7.5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2.5&2.5\\-1.5&-7.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2.5&2.5\\-1.5&-7.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.5&2.5\\-1.5&-7.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-33\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.5&2.5\\-1.5&-7.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-33\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.5&2.5\\-1.5&-7.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-33\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7.5}{2.5\left(-7.5\right)-2.5\left(-1.5\right)}&-\frac{2.5}{2.5\left(-7.5\right)-2.5\left(-1.5\right)}\\-\frac{-1.5}{2.5\left(-7.5\right)-2.5\left(-1.5\right)}&\frac{2.5}{2.5\left(-7.5\right)-2.5\left(-1.5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-33\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{6}\\-\frac{1}{10}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-33\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 17+\frac{1}{6}\left(-33\right)\\-\frac{1}{10}\times 17-\frac{1}{6}\left(-33\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\\frac{19}{5}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=3,y=\frac{19}{5}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2.5x+2.5y=17,-1.5x-7.5y=-33$$

Untuk menjadikan \frac{5x}{2} dan -\frac{3x}{2} sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -1.5 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.5.

$$-1.5\times 2.5x-1.5\times 2.5y=-1.5\times 17,2.5\left(-1.5\right)x+2.5\left(-7.5\right)y=2.5\left(-33\right)$$

Permudahkan.

$$-3.75x-3.75y=-25.5,-3.75x-18.75y=-82.5$$

Tolak -3.75x-18.75y=-82.5 daripada -3.75x-3.75y=-25.5 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-3.75x+3.75x-3.75y+18.75y=\frac{-51+165}{2}$$

Tambahkan -\frac{15x}{4} pada \frac{15x}{4}. Seubtan -\frac{15x}{4} dan \frac{15x}{4} saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-3.75y+18.75y=\frac{-51+165}{2}$$

Tambahkan -\frac{15y}{4} pada \frac{75y}{4}.

$$15y=\frac{-51+165}{2}$$

Tambahkan -25.5 pada 82.5 dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$15y=57$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 15.

$$y=\frac{19}{5}$$

Gantikan \frac{19}{5} dengan y dalam -1.5x-7.5y=-33. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-1.5x-7.5\times \frac{19}{5}=-33$$

Darabkan -7.5 dengan \frac{19}{5} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$-1.5x-\frac{57}{2}=-33$$

Tambahkan \frac{57}{2} pada kedua-dua belah persamaan.

$$-1.5x=-\frac{9}{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -1.5 yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$x=3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=3,y=\frac{19}{5}$$