Selesaikan {l}{2y-3x=-27}{5y+3x=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 y - 3 x = - 27 } \\ { 5 y + 3 x = 6 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk y, x

$$x=7$$

$$y=-3$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2y-3x=-27,5y+3x=6$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk y dengan mengasingkan y di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2y-3x=-27$$

Tambahkan 3x pada kedua-dua belah persamaan.

$$2y=3x-27$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$y=\frac{1}{2}\left(3x-27\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -27+3x.

$$y=\frac{3}{2}x-\frac{27}{2}$$

Gantikan \frac{-27+3x}{2} dengan y dalam persamaan lain, 5y+3x=6.

$$5\left(\frac{3}{2}x-\frac{27}{2}\right)+3x=6$$

Darabkan 5 kali \frac{-27+3x}{2}.

$$\frac{15}{2}x-\frac{135}{2}+3x=6$$

Tambahkan \frac{15x}{2} pada 3x.

$$\frac{21}{2}x-\frac{135}{2}=6$$

Tambahkan \frac{135}{2} pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{21}{2}x=\frac{147}{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{21}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$x=7$$

Gantikan 7 dengan x dalam y=\frac{3}{2}x-\frac{27}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y=\frac{3}{2}\times 7-\frac{27}{2}$$

Darabkan \frac{3}{2} kali 7.

$$y=\frac{21-27}{2}$$

Tambahkan -\frac{27}{2} pada \frac{21}{2} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$y=-3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=-3,x=7$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2y-3x=-27,5y+3x=6$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-27\\6\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&-3\\5&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-27\\6\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-27\\6\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-27\\6\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-\left(-3\times 5\right)}&-\frac{-3}{2\times 3-\left(-3\times 5\right)}\\-\frac{5}{2\times 3-\left(-3\times 5\right)}&\frac{2}{2\times 3-\left(-3\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-27\\6\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\\-\frac{5}{21}&\frac{2}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-27\\6\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\left(-27\right)+\frac{1}{7}\times 6\\-\frac{5}{21}\left(-27\right)+\frac{2}{21}\times 6\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\7\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks y dan x.

$$y=-3,x=7$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2y-3x=-27,5y+3x=6$$

Untuk menjadikan 2y dan 5y sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 5 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$5\times 2y+5\left(-3\right)x=5\left(-27\right),2\times 5y+2\times 3x=2\times 6$$

Permudahkan.

$$10y-15x=-135,10y+6x=12$$

Tolak 10y+6x=12 daripada 10y-15x=-135 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$10y-10y-15x-6x=-135-12$$

Tambahkan 10y pada -10y. Seubtan 10y dan -10y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-15x-6x=-135-12$$

Tambahkan -15x pada -6x.

$$-21x=-135-12$$

Tambahkan -135 pada -12.

$$-21x=-147$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -21.

$$x=7$$

Gantikan 7 dengan x dalam 5y+3x=6. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$5y+3\times 7=6$$

Darabkan 3 kali 7.

$$5y+21=6$$

Tolak 21 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$5y=-15$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$y=-3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=-3,x=7$$