Selesaikan {l}{2y=3x-4}{2y=x+1}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 y = 3 x - 4 } \\ { 2 y = x + 1 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk y, x

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

$$y = \frac{7}{4} = 1\frac{3}{4} = 1.75$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 3x daripada kedua-dua belah.

$$2y-3x=-4$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak x daripada kedua-dua belah.

$$2y-x=1$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2y-3x=-4,2y-x=1$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk y dengan mengasingkan y di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2y-3x=-4$$

Tambahkan 3x pada kedua-dua belah persamaan.

$$2y=3x-4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$y=\frac{1}{2}\left(3x-4\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali 3x-4.

$$y=\frac{3}{2}x-2$$

Gantikan \frac{3x}{2}-2 dengan y dalam persamaan lain, 2y-x=1.

$$2\left(\frac{3}{2}x-2\right)-x=1$$

Darabkan 2 kali \frac{3x}{2}-2.

$$3x-4-x=1$$

Tambahkan 3x pada -x.

$$2x-4=1$$

Tambahkan 4 pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=5$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{5}{2}$$

Gantikan \frac{5}{2} dengan x dalam y=\frac{3}{2}x-2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y=\frac{3}{2}\times \frac{5}{2}-2$$

Darabkan \frac{3}{2} dengan \frac{5}{2} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$y=\frac{15}{4}-2$$

Tambahkan -2 pada \frac{15}{4}.

$$y=\frac{7}{4}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=\frac{7}{4},x=\frac{5}{2}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 3x daripada kedua-dua belah.

$$2y-3x=-4$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak x daripada kedua-dua belah.

$$2y-x=1$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2y-3x=-4,2y-x=1$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&-3\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{-3}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 2\right)}\\-\frac{2}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 2\right)}&\frac{2}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\left(-4\right)+\frac{3}{4}\\-\frac{1}{2}\left(-4\right)+\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{4}\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks y dan x.

$$y=\frac{7}{4},x=\frac{5}{2}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 3x daripada kedua-dua belah.

$$2y-3x=-4$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak x daripada kedua-dua belah.

$$2y-x=1$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2y-3x=-4,2y-x=1$$

Tolak 2y-x=1 daripada 2y-3x=-4 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$2y-2y-3x+x=-4-1$$

Tambahkan 2y pada -2y. Seubtan 2y dan -2y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-3x+x=-4-1$$

Tambahkan -3x pada x.

$$-2x=-4-1$$

Tambahkan -4 pada -1.

$$-2x=-5$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -2.

$$x=\frac{5}{2}$$

Gantikan \frac{5}{2} dengan x dalam 2y-x=1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$2y-\frac{5}{2}=1$$

Tambahkan \frac{5}{2} pada kedua-dua belah persamaan.

$$2y=\frac{7}{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$y=\frac{7}{4}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=\frac{7}{4},x=\frac{5}{2}$$