Selesaikan {l}{2x_{1}+3x_{2}=7}{4x_{1}-4x_{2}=-6}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x _ { 1 } + 3 x _ { 2 } = 7 } \\ { 4 x _ { 1 } - 4 x _ { 2 } = - 6 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x_1, x_2

$$x_{1}=\frac{1}{2}=0.5$$

$$x_{2}=2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x_{1} dengan mengasingkan x_{1} di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x_{1}+3x_{2}=7$$

Tolak 3x_{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x_{1}=-3x_{2}+7$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x_{1}=\frac{1}{2}\left(-3x_{2}+7\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -3x_{2}+7.

$$x_{1}=-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2}$$

Gantikan \frac{-3x_{2}+7}{2} dengan x_{1} dalam persamaan lain, 4x_{1}-4x_{2}=-6.

$$4\left(-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2}\right)-4x_{2}=-6$$

Darabkan 4 kali \frac{-3x_{2}+7}{2}.

$$-6x_{2}+14-4x_{2}=-6$$

Tambahkan -6x_{2} pada -4x_{2}.

$$-10x_{2}+14=-6$$

Tolak 14 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-10x_{2}=-20$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -10.

$$x_{2}=2$$

Gantikan 2 dengan x_{2} dalam x_{1}=-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x_{1}.

$$x_{1}=-\frac{3}{2}\times 2+\frac{7}{2}$$

Darabkan -\frac{3}{2} kali 2.

$$x_{1}=-3+\frac{7}{2}$$

Tambahkan \frac{7}{2} pada -3.

$$x_{1}=\frac{1}{2}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2, \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-3\times 4}&-\frac{3}{2\left(-4\right)-3\times 4}\\-\frac{4}{2\left(-4\right)-3\times 4}&\frac{2}{2\left(-4\right)-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{20}\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 7+\frac{3}{20}\left(-6\right)\\\frac{1}{5}\times 7-\frac{1}{10}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x_{1} dan x_{2}.

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

Untuk menjadikan 2x_{1} dan 4x_{1} sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 4 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$4\times 2x_{1}+4\times 3x_{2}=4\times 7,2\times 4x_{1}+2\left(-4\right)x_{2}=2\left(-6\right)$$

Permudahkan.

$$8x_{1}+12x_{2}=28,8x_{1}-8x_{2}=-12$$

Tolak 8x_{1}-8x_{2}=-12 daripada 8x_{1}+12x_{2}=28 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$8x_{1}-8x_{1}+12x_{2}+8x_{2}=28+12$$

Tambahkan 8x_{1} pada -8x_{1}. Seubtan 8x_{1} dan -8x_{1} saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$12x_{2}+8x_{2}=28+12$$

Tambahkan 12x_{2} pada 8x_{2}.

$$20x_{2}=28+12$$

Tambahkan 28 pada 12.

$$20x_{2}=40$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 20.

$$x_{2}=2$$

Gantikan 2 dengan x_{2} dalam 4x_{1}-4x_{2}=-6. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x_{1}.

$$4x_{1}-4\times 2=-6$$

Darabkan -4 kali 2.

$$4x_{1}-8=-6$$

Tambahkan 8 pada kedua-dua belah persamaan.

$$4x_{1}=2$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x_{1}=\frac{1}{2}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$