Selesaikan {l}{2x-y=5}{3x+4y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - y = 5 } \\ { 3 x + 4 y = 2 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=2$$

$$y=-1$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x-y=5,3x+4y=2$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x-y=5$$

Tambahkan y pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=y+5$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+5\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali y+5.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}$$

Gantikan \frac{5+y}{2} dengan x dalam persamaan lain, 3x+4y=2.

$$3\left(\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}\right)+4y=2$$

Darabkan 3 kali \frac{5+y}{2}.

$$\frac{3}{2}y+\frac{15}{2}+4y=2$$

Tambahkan \frac{3y}{2} pada 4y.

$$\frac{11}{2}y+\frac{15}{2}=2$$

Tolak \frac{15}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{11}{2}y=-\frac{11}{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{11}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-1$$

Gantikan -1 dengan y dalam x=\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{1}{2}\left(-1\right)+\frac{5}{2}$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -1.

$$x=\frac{-1+5}{2}$$

Tambahkan \frac{5}{2} pada -\frac{1}{2} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2,y=-1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x-y=5,3x+4y=2$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&-1\\3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{2\times 4-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{2\times 4-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{2\times 4-\left(-3\right)}&\frac{2}{2\times 4-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}&\frac{1}{11}\\-\frac{3}{11}&\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}\times 5+\frac{1}{11}\times 2\\-\frac{3}{11}\times 5+\frac{2}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=2,y=-1$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x-y=5,3x+4y=2$$

Untuk menjadikan 2x dan 3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$3\times 2x+3\left(-1\right)y=3\times 5,2\times 3x+2\times 4y=2\times 2$$

Permudahkan.

$$6x-3y=15,6x+8y=4$$

Tolak 6x+8y=4 daripada 6x-3y=15 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$6x-6x-3y-8y=15-4$$

Tambahkan 6x pada -6x. Seubtan 6x dan -6x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-3y-8y=15-4$$

Tambahkan -3y pada -8y.

$$-11y=15-4$$

Tambahkan 15 pada -4.

$$-11y=11$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -11.

$$y=-1$$

Gantikan -1 dengan y dalam 3x+4y=2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$3x+4\left(-1\right)=2$$

Darabkan 4 kali -1.

$$3x-4=2$$

Tambahkan 4 pada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2,y=-1$$