Selesaikan {l}{2x-y=2}{3x-2y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - y = 2 } \\ { 3 x - 2 y = 1 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=3$$

$$y=4$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x-y=2,3x-2y=1$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x-y=2$$

Tambahkan y pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=y+2$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+2\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali y+2.

$$x=\frac{1}{2}y+1$$

Gantikan \frac{y}{2}+1 dengan x dalam persamaan lain, 3x-2y=1.

$$3\left(\frac{1}{2}y+1\right)-2y=1$$

Darabkan 3 kali \frac{y}{2}+1.

$$\frac{3}{2}y+3-2y=1$$

Tambahkan \frac{3y}{2} pada -2y.

$$-\frac{1}{2}y+3=1$$

Tolak 3 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{1}{2}y=-2$$

Darabkan kedua-dua belah dengan -2.

$$y=4$$

Gantikan 4 dengan y dalam x=\frac{1}{2}y+1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{1}{2}\times 4+1$$

Darabkan \frac{1}{2} kali 4.

$$x=2+1$$

Tambahkan 1 pada 2.

$$x=3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=3,y=4$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x-y=2,3x-2y=1$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{2\left(-2\right)-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{2\left(-2\right)-\left(-3\right)}&\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 2-1\\3\times 2-2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=3,y=4$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x-y=2,3x-2y=1$$

Untuk menjadikan 2x dan 3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$3\times 2x+3\left(-1\right)y=3\times 2,2\times 3x+2\left(-2\right)y=2$$

Permudahkan.

$$6x-3y=6,6x-4y=2$$

Tolak 6x-4y=2 daripada 6x-3y=6 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$6x-6x-3y+4y=6-2$$

Tambahkan 6x pada -6x. Seubtan 6x dan -6x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-3y+4y=6-2$$

Tambahkan -3y pada 4y.

$$y=6-2$$

Tambahkan 6 pada -2.

$$y=4$$

Gantikan 4 dengan y dalam 3x-2y=1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$3x-2\times 4=1$$

Darabkan -2 kali 4.

$$3x-8=1$$

Tambahkan 8 pada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=9$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=3,y=4$$