Selesaikan {l}{2x-y=0}{5x-2y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - y = 0 } \\ { 5 x - 2 y = 1 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=1$$

$$y=2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x-y=0,5x-2y=1$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x-y=0$$

Tambahkan y pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=y$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}y$$

Gantikan \frac{y}{2} dengan x dalam persamaan lain, 5x-2y=1.

$$5\times \frac{1}{2}y-2y=1$$

Darabkan 5 kali \frac{y}{2}.

$$\frac{5}{2}y-2y=1$$

Tambahkan \frac{5y}{2} pada -2y.

$$\frac{1}{2}y=1$$

Darabkan kedua-dua belah dengan 2.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam x=\frac{1}{2}y. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{1}{2}\times 2$$

Darabkan \frac{1}{2} kali 2.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x-y=0,5x-2y=1$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&-1\\5&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-5\right)}&-\frac{-1}{2\left(-2\right)-\left(-5\right)}\\-\frac{5}{2\left(-2\right)-\left(-5\right)}&\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&1\\-5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=1,y=2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x-y=0,5x-2y=1$$

Untuk menjadikan 2x dan 5x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 5 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$5\times 2x+5\left(-1\right)y=0,2\times 5x+2\left(-2\right)y=2$$

Permudahkan.

$$10x-5y=0,10x-4y=2$$

Tolak 10x-4y=2 daripada 10x-5y=0 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$10x-10x-5y+4y=-2$$

Tambahkan 10x pada -10x. Seubtan 10x dan -10x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-5y+4y=-2$$

Tambahkan -5y pada 4y.

$$-y=-2$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam 5x-2y=1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$5x-2\times 2=1$$

Darabkan -2 kali 2.

$$5x-4=1$$

Tambahkan 4 pada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=5$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=2$$