Selesaikan {l}{2x-y=-2}{y=5x-1}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - y = - 2 } \\ { y = 5 x - 1 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=1$$

$$y=4$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 5x daripada kedua-dua belah.

$$y-5x=-1$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x-y=-2,-5x+y=-1$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x-y=-2$$

Tambahkan y pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=y-2$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y-2\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali y-2.

$$x=\frac{1}{2}y-1$$

Gantikan \frac{y}{2}-1 dengan x dalam persamaan lain, -5x+y=-1.

$$-5\left(\frac{1}{2}y-1\right)+y=-1$$

Darabkan -5 kali \frac{y}{2}-1.

$$-\frac{5}{2}y+5+y=-1$$

Tambahkan -\frac{5y}{2} pada y.

$$-\frac{3}{2}y+5=-1$$

Tolak 5 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{3}{2}y=-6$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{3}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=4$$

Gantikan 4 dengan y dalam x=\frac{1}{2}y-1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{1}{2}\times 4-1$$

Darabkan \frac{1}{2} kali 4.

$$x=2-1$$

Tambahkan -1 pada 2.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=4$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 5x daripada kedua-dua belah.

$$y-5x=-1$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x-y=-2,-5x+y=-1$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\-5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&-1\\-5&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\-5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-\left(-5\right)\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{2-\left(-\left(-5\right)\right)}&\frac{2}{2-\left(-\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{5}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-2\right)-\frac{1}{3}\left(-1\right)\\-\frac{5}{3}\left(-2\right)-\frac{2}{3}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=1,y=4$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 5x daripada kedua-dua belah.

$$y-5x=-1$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x-y=-2,-5x+y=-1$$

Untuk menjadikan 2x dan -5x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -5 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$-5\times 2x-5\left(-1\right)y=-5\left(-2\right),2\left(-5\right)x+2y=2\left(-1\right)$$

Permudahkan.

$$-10x+5y=10,-10x+2y=-2$$

Tolak -10x+2y=-2 daripada -10x+5y=10 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-10x+10x+5y-2y=10+2$$

Tambahkan -10x pada 10x. Seubtan -10x dan 10x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$5y-2y=10+2$$

Tambahkan 5y pada -2y.

$$3y=10+2$$

Tambahkan 10 pada 2.

$$3y=12$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$y=4$$

Gantikan 4 dengan y dalam -5x+y=-1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-5x+4=-1$$

Tolak 4 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-5x=-5$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -5.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=4$$