Selesaikan {l}{2x-5y=4}{3x+2y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 5 y = 4 } \\ { 3 x + 2 y = 5 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{33}{19} = 1\frac{14}{19} \approx 1.736842105$$

$$y=-\frac{2}{19}\approx -0.105263158$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x-5y=4,3x+2y=5$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x-5y=4$$

Tambahkan 5y pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=5y+4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(5y+4\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali 5y+4.

$$x=\frac{5}{2}y+2$$

Gantikan \frac{5y}{2}+2 dengan x dalam persamaan lain, 3x+2y=5.

$$3\left(\frac{5}{2}y+2\right)+2y=5$$

Darabkan 3 kali \frac{5y}{2}+2.

$$\frac{15}{2}y+6+2y=5$$

Tambahkan \frac{15y}{2} pada 2y.

$$\frac{19}{2}y+6=5$$

Tolak 6 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{19}{2}y=-1$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{19}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-\frac{2}{19}$$

Gantikan -\frac{2}{19} dengan y dalam x=\frac{5}{2}y+2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{5}{2}\left(-\frac{2}{19}\right)+2$$

Darabkan \frac{5}{2} dengan -\frac{2}{19} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{5}{19}+2$$

Tambahkan 2 pada -\frac{5}{19}.

$$x=\frac{33}{19}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{33}{19},y=-\frac{2}{19}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x-5y=4,3x+2y=5$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-5\times 3\right)}&-\frac{-5}{2\times 2-\left(-5\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 2-\left(-5\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-5\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}&\frac{5}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}\times 4+\frac{5}{19}\times 5\\-\frac{3}{19}\times 4+\frac{2}{19}\times 5\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{33}{19}\\-\frac{2}{19}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{33}{19},y=-\frac{2}{19}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x-5y=4,3x+2y=5$$

Untuk menjadikan 2x dan 3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$3\times 2x+3\left(-5\right)y=3\times 4,2\times 3x+2\times 2y=2\times 5$$

Permudahkan.

$$6x-15y=12,6x+4y=10$$

Tolak 6x+4y=10 daripada 6x-15y=12 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$6x-6x-15y-4y=12-10$$

Tambahkan 6x pada -6x. Seubtan 6x dan -6x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-15y-4y=12-10$$

Tambahkan -15y pada -4y.

$$-19y=12-10$$

Tambahkan 12 pada -10.

$$-19y=2$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -19.

$$y=-\frac{2}{19}$$

Gantikan -\frac{2}{19} dengan y dalam 3x+2y=5. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$3x+2\left(-\frac{2}{19}\right)=5$$

Darabkan 2 kali -\frac{2}{19}.

$$3x-\frac{4}{19}=5$$

Tambahkan \frac{4}{19} pada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=\frac{99}{19}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{33}{19}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{33}{19},y=-\frac{2}{19}$$